Trường Euclid

Bài này viết về trường sắp thứ tự. Đối với trường số đại số với vành các số nguyên có một thuật toán Euclid, xem trường norm-Euclid. Đối với lớp các mẫu trong cơ học thống kê, xem lý thuyết trường Euclid.

Trong toán học, một trường Euclid là một trường sắp thứ tự K mà mọi phần tử không âm đều là một số chính phương. Tức là, với x ≥ 0 thuộc K nghĩa là x = y² với một y nào đó thuộc K.

Tính chất

• Mọi trường Euclid là một trường Pythagoras sắp thứ tự, nhưng điều ngược lại không đúng.
• Nếu E/F là một mở rộng trường hữu hạn, và E là một trường Euclid thì F cũng là Euclid. Tính chất "đi xuống" này là một hệ quả của định lý Diller–Dress.

Ví dụ

• Trường số thực ℝ với các phép toán và thứ tự thông thường tạo thành một trường Euclid.
• Trường các số đại số thực ℝ ∩ ℚ là một trường Euclid.
• Các số dựng được, những độ dài có thể dựng được từ một đoạn hữu tỉ bằng phép dựng hình bằng thước kẻ và compa, tạo thành một trường Euclid.
• Trường các số siêu thực là một trường Euclid.

Phản ví dụ

• Trường số hữu tỉ ℚ với các phép toán và thứ tự thông thường không tạo thành một trường Euclid. Ví dụ, 2 không phải là số chính phương trong ℚ vì căn bậc hai của 2 là số vô tỉ. By the going-down result above, no algebraic number field can be Euclidean.
• Trường số phức ℂ không tạo thành một trường Euclid vì nó không phải là trường sắp thứ tự.

Sách tham khảo

• Efrat, Ido (2006). Valuations, orderings, and Milnor K-theory. Mathematical Surveys and Monographs. 124. Providence, RI: Hội Toán học Hoa Kỳ. ISBN 0-8218-4041-X. Zbl 1103.12002.
• Lam, Tsit-Yuen (2005). Introduction to Quadratic Forms over Fields. Graduate Studies in Mathematics. 67. Hội Toán học Hoa Kỳ. ISBN 0-8218-1095-2. MR 2104929. Zbl 1068.11023.
• Martin, George E. (1998). Geometric Constructions. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag. ISBN 0-387-98276-0. Zbl 0890.51015.

Liên kết ngoài

• Euclidean Field tại trang PlanetMath.org.