フーリエの法則とは？ わかりやすく解説

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/09/18 16:15 UTC 版)

「熱伝導」の記事における「フーリエの法則」の解説

単位時間に単位面積を流れる熱流（熱流束密度）を J [W/m2] とし、温度を T とすると、分子論的熱緩和時間より十分長い時間（定常状態と見なせる時間）領域での現象に対して、熱流束密度 J は温度勾配 grad T に比例する。すなわち J = − λ grad ⁡ T {\displaystyle {\boldsymbol {J}}=-\lambda \operatorname {grad} T} で表される。これはフーリエの法則と言われる。この時の比例係数 λ を熱伝導率（thermal conductivity）という。物質が等方的であればλはスカラーであるが、一般に非等方的3次元系では J と grad T の向きは一致せず、熱伝導率はテンソルで表現される。 単位体積当たりのエネルギー（エネルギー密度）を ρE [J/m3]とすると、エネルギー保存則と連続の方程式より ∂ ρ E ∂ t = − div ⁡ J {\displaystyle {\frac {\partial \rho _{\mathrm {E} }}{\partial t}}=-\operatorname {div} {\boldsymbol {J}}} の関係が成り立つ（t は時間）。エネルギー密度の増加率は単位体積あたりの熱容量CV [J/m3K]を使って、 ∂ ρ E ∂ t = C V ∂ T ∂ t {\displaystyle {\frac {\partial \rho _{E}}{\partial t}}=C_{V}{\frac {\partial T}{\partial t}}} で表現される。以上から、λ を一定かつ等方的とすれば、温度場 T が従う式として C V ∂ T ∂ t = − div ⁡ J = − div ⁡ ( − λ grad ⁡ T ) = λ ∇ 2 T = λ Δ T {\displaystyle C_{V}{\frac {\partial T}{\partial t}}=-\operatorname {div} {\boldsymbol {J}}=-\operatorname {div} (-\lambda \operatorname {grad} T)=\lambda \nabla ^{2}T=\lambda \Delta T} を得る。これは熱伝導方程式（Heat equation）と言われ、拡散方程式の形をしている。λ/CV を熱拡散率（温度伝導率）と言う。 以上の式を1次元に簡略化すると以下のようになる。 フーリエの法則 J = − λ ∂ T ∂ x {\displaystyle J=-\lambda {\frac {\partial T}{\partial x}}} エネルギー保存則 ∂ ρ E ∂ t = − ∂ J ∂ x {\displaystyle {\frac {\partial \rho _{E}}{\partial t}}=-{\frac {\partial J}{\partial x}}} エネルギー密度の変化と温度変化の関係 ∂ ρ E ∂ t = C V ∂ T ∂ t {\displaystyle {\frac {\partial \rho _{E}}{\partial t}}=C_{V}{\frac {\partial T}{\partial t}}} 熱伝導方程式 C V ∂ T ∂ t = − ∂ ∂ x ( − λ ∂ T ∂ x ) = λ ∂ 2 T ∂ x 2 {\displaystyle C_{V}{\frac {\partial T}{\partial t}}=-{\frac {\partial }{\partial x}}\left(-\lambda {\frac {\partial T}{\partial x}}\right)=\lambda {\frac {\partial ^{2}T}{\partial x^{2}}}} ただし、 ρE ：熱エネルギー密度 [J/m3] J ：熱流束密度 [W/m2] λ ：熱伝導率 [W/(m・K)] CV ：単位体積熱容量 [J/(m3・K)] である。

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