フーリエ解析とは？ わかりやすく解説

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/13 01:23 UTC 版)

「ヒルベルト空間」の記事における「フーリエ解析」の解説

フーリエ解析の基本目的の一つは、関数を付随するフーリエ級数、即ち与えられた基底関数族の（必ずしも有限とは限らない）線型結合に分解することである。区間 [0, 1] 上の関数 f に付随する古典フーリエ級数とは ∑ n = − ∞ ∞ a n e 2 π i n θ ( a n := ∫ 0 1 f ( θ ) e − 2 π i n θ d θ ) {\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}e^{2\pi in\theta }\quad (a_{n}:=\int _{0}^{1}f(\theta )e^{-2\pi in\theta }\,d\theta )} なる形の級数である。 鋸歯状波関数に対するフーリエ級数の最初の数項を足し上げた例を図に示す。鋸歯状波関数の波長を λ とすると、（基本波、つまり n = 1 を除いて）それよりも短い波長 λ/n（n は整数）をもつ正弦波が基底関数である。全ての基底関数が鋸歯状波の折れるところで交わり（結点）を持つが、基本波を除く全ての基底関数はそれ以外にも結点を持つ。鋸歯の周りでの基底関数の部分和の振動はギブズ現象と呼ばれるものである。 古典フーリエ級数論の特徴的な問題の一つに「関数 f のフーリエ級数がもとの関数に収束する（ことが仮にあったとする）ならば、それはどのような意味においての収束であるか」を問う問題がある。これに対して、ヒルベルト空間を用いた方法で答えを与えることができる。関数族 en(θ) := e2πinθ はヒルベルト空間 L2([0, 1]) の正規直交基底を成すから、それ故に任意の自乗可積分関数 f が f ( θ ) = ∑ n a n e n ( θ ) , ( a n := ⟨ f , e n ⟩ ) {\displaystyle f(\theta )=\sum _{n}a_{n}e_{n}(\theta ),\quad (a_{n}:=\langle f,e_{n}\rangle )} なる級数の形で表せて、さらにこの級数は L2([0, 1]) の元として収束する（即ち、L2-収束、自乗平均収束）。 この問題を抽象的な観点からも見ることができる。任意のヒルベルト空間は正規直交基底を持ち、ヒルベルト空間の各元はそれら基底に属する元の定数倍の和として一意的に表すことができるが、この展開に現れる各基底元の係数のことをその元の抽象フーリエ係数と呼ぶことがある。このような抽象化は、L2([0,1]) などの空間で別の基底関数系を用いることがより自然であるようなときに、特に有用である。関数を三角関数系に分解することは不適当だが、例えば直交多項式系やウェーブレットおよび高次元において球面調和関数へ展開することが適当であるような状況はたくさんある。 例えば、en を L2[0,1] の任意の正規直交基底関数系とすると、与えられた L2[0,1] の関数は有限線型結合 f ( x ) ≈ f n ( x ) = a 1 e 1 ( x ) + a 2 e 2 ( x ) + ⋯ + a n e n ( x ) {\displaystyle f(x)\approx f_{n}(x)=a_{1}e_{1}(x)+a_{2}e_{2}(x)+\cdots +a_{n}e_{n}(x)} で近似することができる。右辺の係数 {aj} は、差の大きさ ‖ƒ − ƒn‖2 をできるだけ小さくするように定める。幾何学的には、最適近似は {ej} の線型結合全体の成す部分空間の上への ƒ の直交射影であり、 a j = ∫ 0 1 e j ( x ) ¯ f ( x ) d x {\displaystyle a_{j}=\int _{0}^{1}{\overline {e_{j}(x)}}f(x)\,dx} によって計算することができる。これが ‖ƒ − ƒn‖2 を最小化することはベッセルの不等式とパーセヴァルの公式からの帰結である。 種々の物理学的問題においては、関数を物理的に意味を持つ微分作用素（典型的なものはラプラス作用素）の固有関数系に分解することができ、微分作用素のスペクトルに関連して、関数のスペクトル研究の基礎を成している。物理学への具体的な応用として太鼓の形を聴く（英語版）問題が挙げられる。これは「太鼓の皮が引き起こす基本振動モードを与えたとき、太鼓自身の形が推定できるか」というものである。この問題の数学的定式化は、平面上のラプラス作用素のディリクレ固有値に関わるものになる（これはヴァイオリンの弦の基本振動モードを表す整数の直接の対応物である）。 スペクトル論も関数のフーリエ変換のある種の側面を下支えしている。フーリエ解析ではコンパクト集合上定義された関数を（ヴァイオリンの弦や太鼓の皮の振動に対応する）ラプラス変換の離散スペクトルに分解するのに対して、関数のフーリエ変換はユークリド空間の全域で定義された関数をラプラス作用素の連続スペクトルに関する成分に分解する。フーリエ変換があるヒルベルト空間（「時間領域」）から別なヒルベルト空間（「周波数領域」）への等距変換であることを主張するプランシュレルの定理として、フーリエ変換は幾何学的な意味を持つ。このフーリエ変換の等距性は、例えば非可換調和解析に現れる球関数に対するプランシュレルの定理などが示すとおり、抽象的な調和解析では繰り返し登場する主題である。

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「ベクトル空間」の記事における「フーリエ解析」の解説

詳細は「フーリエ解析」を参照 周期函数をフーリエ級数を成す三角函数の和に分解することは物理学や工学においてよく用いられる手法である。台となるベクトル空間は、ふつうはヒルベルト空間 L2(0, 2π) であり、函数族 sin mx および cos mx (m は整数) が正規直交基底を与える。L2-函数 f のフーリエ展開は a 0 2 + ∑ m = 1 ∞ [ a m cos ⁡ ( m x ) + b m sin ⁡ ( m x ) ] {\displaystyle {\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{m=1}^{\infty }[a_{m}\cos(mx)+b_{m}\sin(mx)]} である。係数 am, bm は f のフーリエ係数と呼ばれ、公式 a m = 1 π ∫ 0 2 π f ( t ) cos ⁡ ( m t ) d t , b m = 1 π ∫ 0 2 π f ( t ) sin ⁡ ( m t ) d t {\displaystyle a_{m}={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(t)\cos(mt)dt,\quad b_{m}={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(t)\sin(mt)dt} で求められる。 物理学の言葉で言えば、函数は正弦波の重ね合せとして表され、その係数は函数の周波数スペクトルについての情報を与えるということになる。複素型のフーリエ級数も広く用いられる。上記の具体的な公式は、より一般のポントリャーギン双対と呼ばれる双対性からの帰結である。加法群 R にこの双対性を適用すれば古典的なフーリエ変換が得られる。また物理学では逆格子に応用される。これは有限次元実線型空間に付加的なデータとして原子や結晶の位置を符号化した束を与えたものを基礎の群として双対性を適用したものである。 フーリエ級数は偏微分方程式の境界値問題を解くのにも利用される。1822年にフーリエが初めてこの方法を熱方程式を解くために用いた。フーリエ級数の離散版は標本化において、函数値が等間隔に並んだ有限個の点でしかわかっていないところで用いられる。この場合、フーリエ級数は有限項で、その値は全ての点で標本値に等しい。また、係数全体の成す集合は、与えられた標本列の離散フーリエ変換 (英: DFT : Discrete Fourier Transformation) と呼ばれる。この DFT は（レーダーや音声符号化や画像圧縮などに応用を持つ）デジタル信号処理の重要な道具の一つである。画像フォーマットJPEGは、近しい関係にある離散余弦変換の応用である。 高速フーリエ変換は離散フーリエ変換を高速に計算するアルゴリズムである。これはフーリエ係数の計算だけでなく、畳み込み定理を用いて、二つの有限列の畳み込みを計算するのにも利用できる。また、デジタルフィルタや、巨大な整数や多項式の高速な掛け算アルゴリズム（シェーンハーゲ・シュトラッセンのアルゴリズム）にも応用できる。

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「ジョゼフ・フーリエ」の記事における「フーリエ解析」の解説

詳細は「フーリエ解析」を参照 ある有限区間上の関数を三角関数の級数で表すことをフーリエ展開といい、無限区間に拡張されたそれをフーリエ変換という。 フーリエ解析とは、これらフーリエ展開やフーリエ変換を用いて関数を解析すること、特に関数を周波数成分に分解して調べることである。これは線形微分方程式を解くための極めて強力な武器であるばかりでなく、物理学や工学において光や音、振動、コンピュータグラフィックスなど幅広い分野で用いられている。 フーリエは著書『熱の解析的理論』において、「任意の関数は、三角関数の級数で表すことができる」（フーリエの定理）と主張した。この証明は不十分なものであったが、のちに多くの数学者たちによって厳密化が行なわれた。 フーリエ解析は「ほとんどあらゆる」関数が周期関数の和として「表せる」という逆説性から多くの数学者たちの注目を浴び、「ほとんどあらゆる」の範囲や「表せる」という根拠をめぐる議論は、まだ関数という言葉の意味すら曖昧だった19世紀の解析学の厳密化に貢献した。後のリーマンの積分論やカントールの集合論もこれに関する研究から生まれることになる。

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