ブロッホ球とは？ わかりやすく解説

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/08/17 17:34 UTC 版)

「2状態系」の記事における「ブロッホ球」の解説

詳細は「ブロッホ球」を参照 2状態系は3次元実空間の単位球面であるブロッホ球で記述することができる。2状態系の密度行列 ρ ^ = | ψ ⟩ ⟨ ψ | = | c 1 | 2 | 1 ⟩ ⟨ 1 | + c 1 c 2 ∗ | 1 ⟩ ⟨ 2 | + c 2 c 1 ∗ | 2 ⟩ ⟨ 1 | + | c 2 | 2 | 2 ⟩ ⟨ 2 | {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\rho }}&=|\psi \rangle \langle \psi |\\&=|c_{1}|^{2}|1\rangle \langle 1|+c_{1}c_{2}^{\,\ast }|1\rangle \langle 2|+c_{2}c_{1}^{\,\ast }|2\rangle \langle 1|+|c_{2}|^{2}|2\rangle \langle 2|\end{aligned}}} はパウリ行列により、 ρ ^ = s 0 I ^ 2 + s 1 σ ^ 1 2 + s 2 σ ^ 2 2 + s 3 σ ^ 3 2 {\displaystyle {\hat {\rho }}=s_{0}{\frac {\hat {I}}{2}}+s_{1}{\frac {{\hat {\sigma }}_{1}}{2}}+s_{2}{\frac {{\hat {\sigma }}_{2}}{2}}+s_{3}{\frac {{\hat {\sigma }}_{3}}{2}}} と展開できる。但し、展開係数は s 0 = Tr ⁡ ( ρ ^ ) = | c 1 | 2 + | c 2 | 2 = 1 {\displaystyle s_{0}=\operatorname {Tr} ({\hat {\rho }})=|c_{1}|^{2}+|c_{2}|^{2}=1} s 1 = Tr ⁡ ( σ ^ 1 ρ ^ ) = c 1 ∗ c 2 + c 2 ∗ c 1 {\displaystyle s_{1}=\operatorname {Tr} ({\hat {\sigma }}_{1}{\hat {\rho }})=c_{1}^{\,\ast }c_{2}+c_{2}^{\,\ast }c_{1}} s 2 = Tr ⁡ ( σ ^ 2 ρ ^ ) = i ( c 1 c 2 ∗ − c 2 c 1 ∗ ) {\displaystyle s_{2}=\operatorname {Tr} ({\hat {\sigma }}_{2}{\hat {\rho }})=i(c_{1}c_{2}^{\,\ast }-c_{2}c_{1}^{\,\ast })} s 3 = Tr ⁡ ( σ ^ 3 ρ ^ ) = | c 1 | 2 − | c 2 | 2 {\displaystyle s_{3}=\operatorname {Tr} ({\hat {\sigma }}_{3}{\hat {\rho }})=|c_{1}|^{2}-|c_{2}|^{2}} で与えられる実数である。ここで s → ( t ) = s 1 e 1 → + s 2 e 2 → + s 2 e 3 → {\displaystyle {\vec {s}}(t)=s_{1}{\vec {e_{1}}}+s_{2}{\vec {e_{2}}}+s_{2}{\vec {e_{3}}}} で定義される単位ベクトルをブロッホベクトルといい、ブロッホベクトルがなす単位球面をブロッホ球という。ブロッホ球上の点は経度 π/2 − θ、経度 φ とする極座標の実パラメータ (φ, θ) で表すことができる。2状態系のブロッホ球による表示は米国の物理学者リチャード・ファインマンによって導入された。

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