モーメントとは？ わかりやすく解説

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/03/09 00:53 UTC 版)

「レヴィ分布」の記事における「モーメント」の解説

μ = 0 の場合、レヴィ分布の n 次モーメントは以下の式で定義される。 m n = d e f c 2 π ∫ 0 ∞ e − c / 2 x x n x 3 / 2 d x {\displaystyle m_{n}\;{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\;{\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-c/2x}\,x^{n}}{x^{3/2}}}\,dx} この式は、すべての n > 0 に関して発散するので、レヴィ分布のモーメントは存在しない。 モーメント母関数 は次の式で定義される。 M ( t ; c ) = d e f c 2 π ∫ 0 ∞ e − c / 2 x + t x x 3 / 2 d x {\displaystyle M(t;c)\;{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\;{\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-c/2x+tx}}{x^{3/2}}}\,dx} この式は、t > 0 の場合発散するので 0 近傍では定義されない。したがって、モーメント母関数は定義されない。

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/03/31 08:00 UTC 版)

「カントール分布」の記事における「モーメント」の解説

対称性により、この分布を持つ確率変数 X に対して、その期待値は E(X) = 1/2 となり、すべての X の奇中心モーメントは 0 であることが簡単に分かる。 分散 var(X) を求める上で、全分散の法則（英語版）を次のように用いることができる。上述の集合 C1 に対して、X ∈ [0, 1/3] であれば Y = 0 とし、X ∈ [2/3, 1] であれば Y = 1 とする。このとき、 var ⁡ ( X ) = E ⁡ ( var ⁡ ( X ∣ Y ) ) + var ⁡ ( E ⁡ ( X ∣ Y ) ) = 1 9 var ⁡ ( X ) + var ⁡ { 1 / 6 with probability   1 / 2 5 / 6 with probability   1 / 2 } = 1 9 var ⁡ ( X ) + 1 9 . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {var} (X)&=\operatorname {E} (\operatorname {var} (X\mid Y))+\operatorname {var} (\operatorname {E} (X\mid Y))\\&={\frac {1}{9}}\operatorname {var} (X)+\operatorname {var} \left\{{\begin{matrix}1/6&{\mbox{with probability}}\ 1/2\\5/6&{\mbox{with probability}}\ 1/2\end{matrix}}\right\}\\&={\frac {1}{9}}\operatorname {var} (X)+{\frac {1}{9}}.\end{aligned}}} が得られる。これより var ⁡ ( X ) = 1 8 {\displaystyle \operatorname {var} (X)={\frac {1}{8}}} が得られる。任意の偶中心モーメント（英語版）に対する閉形式表現は、初めに偶キュムラント κ 2 n = 2 2 n − 1 ( 2 2 n − 1 ) B 2 n n ( 3 2 n − 1 ) , {\displaystyle \kappa _{2n}={\frac {2^{2n-1}(2^{2n}-1)B_{2n}}{n\,(3^{2n}-1)}},\,\!} を得、続いてそのキュムラントの関数としてモーメントを表現することで得られる。ここで B2n は 2n 番目のベルヌーイ数である。

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「切断正規分布」の記事における「モーメント」の解説

切断正規分布の期待値と分散は、二重に切断されている場合、 E ⁡ ( X | A < X < B ) = μ + ϕ ( a − μ σ ) − ϕ ( b − μ σ ) Φ ( b − μ σ ) − Φ ( a − μ σ ) σ {\displaystyle \operatorname {E} (X|A<X<B)=\mu +{\frac {\phi ({\frac {a-\mu }{\sigma }})-\phi ({\frac {b-\mu }{\sigma }})}{\Phi ({\frac {b-\mu }{\sigma }})-\Phi ({\frac {a-\mu }{\sigma }})}}\sigma } Var ⁡ ( X | A < X < B ) = σ 2 [ 1 + a − μ σ ϕ ( a − μ σ ) − b − μ σ ϕ ( b − μ σ ) Φ ( b − μ σ ) − Φ ( a − μ σ ) − ( ϕ ( a − μ σ ) − ϕ ( b − μ σ ) Φ ( b − μ σ ) − Φ ( a − μ σ ) ) 2 ] {\displaystyle \operatorname {Var} (X|A<X A ) = μ + σ R ( A − μ σ ) {\displaystyle \operatorname {E} (X|X>A)=\mu +{\frac {\sigma }{R\left({\frac {A-\mu }{\sigma }}\right)}}} Var ⁡ ( X | X > A ) = σ 2 [ 1 + A − μ σ R ( A − μ σ ) − { 1 R ( A − μ σ ) } 2 ] {\displaystyle \operatorname {Var} (X|X>A)=\sigma ^{2}\left[1+{\frac {\frac {A-\mu }{\sigma }}{R\left({\frac {A-\mu }{\sigma }}\right)}}-\left\{{\frac {1}{R\left({\frac {A-\mu }{\sigma }}\right)}}\right\}^{2}\right]} である。ここで R ( x − μ σ ) = 1 − Φ ( x − μ σ ) ϕ ( x − μ σ ) {\displaystyle R\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)={\frac {1-\Phi \left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)}{\phi \left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)}}} は、ミルズ比である。

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「運動量」の記事における「モーメント」の解説

詳細は「角運動量」を参照 物理学において、ベクトルで表される物理量とある原点に対する位置の外積をモーメントという。運動量のモーメントは、角運動量 (angular momentum) と呼ばれ、次のように定義される。 L := r × p . {\displaystyle {\boldsymbol {L}}:={\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {p}}.} 古典的な角運動量の大きさは、位置ベクトル r の大きさと、運動量 p の r に直交する成分の大きさの積として表される。2 つのベクトル r, p が載っている平面上の、2 つのベクトル r, p の間の角度を θ とすれば、角運動量の大きさは次のように表される。 | L | = | r | | p ⊥ | = | r | | p | sin ⁡ θ . {\displaystyle \left|{\boldsymbol {L}}\right|=\left|{\boldsymbol {r}}\right|\left|{\boldsymbol {p}}_{\perp }\right|=\left|{\boldsymbol {r}}\right|\left|{\boldsymbol {p}}\right|\sin \theta .} 解析力学においては、角運動量は角度に対応した一般化運動量として得られる。 角運動量は、ニュートンの運動方程式と同様な方程式、 d L d t = N {\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {L}}}{dt}}={\boldsymbol {N}}} を満たす。ここで N := r × F は物体に作用する力のモーメントである。

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「遊☆戯☆王5D's」の記事における「モーメント」の解説

ネオ童実野シティが「究極のエネルギー発生システムにして夢の永久機関」と定義するエネルギー。開発者は遊星の父、不動博士。現行のデュエルディスク、D・ホイールを含むあらゆる乗り物の動力として採用されているほか、シティの中心部に設置された巨大モーメントはシティ全域のエネルギーを担っている。

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「二項分布」の記事における「モーメント」の解説

二項分布 B(n, p) に従う確率変数 X の r 次モーメント E[Xr] は E [ X r ] = ∑ j = 0 r S ( r , j ) n ! ( n − j ) ! p j {\displaystyle E[X^{r}]=\sum _{j=0}^{r}S(r,j){\frac {n!}{(n-j)!}}p^{j}} というやや複雑な表示をもつ。ここで S(r, j) は第二種スターリング数。低次から E [ X 1 ] = n p , E [ X 2 ] = n p + n ( n − 1 ) p 2 , … {\displaystyle E[X^{1}]=np,\quad E[X^{2}]=np+n(n-1)p^{2},\dotsc } となる。一方 X の r 次階乗モーメント（英語版） E[(X)r] は E [ ( X ) r ] = ( n ) r p r = n ! ( n − r ) ! p r {\displaystyle E[(X)_{r}]=(n)_{r}p^{r}={\frac {n!}{(n-r)!}}p^{r}} という単純な表示をもつ。ここで (n)r = n!/(n − r)! はポッホハマー記号。低次から E [ ( X ) 1 ] = n p , E [ ( X ) 2 ] = n ( n − 1 ) p 2 , … {\displaystyle E[(X)_{1}]=np,\quad E[(X)_{2}]=n(n-1)p^{2},\dotsc } となる。

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/10/13 10:26 UTC 版)

「特性関数 (確率論)」の記事における「モーメント」の解説

特性関数は確率変数のモーメントを求める場合にも使える。n-次のモーメントがある場合、特性関数は n 階微分可能で、次が成り立つ： E ⁡ [ X n ] = i − n φ X ( n ) ( 0 ) = i − n [ d n d t n φ X ( t ) ] t = 0 . {\displaystyle \operatorname {\mathbb {E} } [X^{n}]=i^{-n}\,\varphi _{X}^{(n)}(0)=i^{-n}\,\left[{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\varphi _{X}(t)\right]_{t=0}.} 例えば、X が標準的なコーシー分布に従うとする。すると φ X ( t ) = e − | t | {\displaystyle \varphi _{X}(t)=e^{-|t|}} である。コーシー分布には期待値がなく、この特性関数は点 t = 0 で微分可能ではない。また、n 回の独立な観測についての標本の平均 X の特性関数は、上の節にあるように φ X ¯ ( t ) = ( e − | t | / n ) n = e − | t | {\displaystyle \varphi _{\overline {X}}(t)=(e^{-|t|/n})^{n}=e^{-|t|}} となる。これは標準のコーシー分布の特性関数であり、標本の平均と母集団は同じ分布である。 特性関数の対数はキュムラント母関数であり、キュムラントを求める際に有用である。ただし、キュムラント母関数を積率母関数の対数と定義する場合もあり、その場合は特性関数の対数を第 2 キュムラント母関数と呼ぶ。

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「一般化双曲型分布」の記事における「モーメント」の解説

本節では、以下 ζ u = δ α 2 − ( β + u ) 2 ζ = ζ u = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}&\zeta _{u}&=&\delta {\sqrt {\alpha ^{2}-(\beta +u)^{2}}}\\&\zeta &=&\zeta _{u=0}\end{aligned}}} とする。

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/04 08:20 UTC 版)

「ポアソン分布」の記事における「モーメント」の解説

ポアソン分布の高次モーメントは、λ を含むトゥシャール多項式であり、二項係数を持つ。 m 1 = E [ X ] = λ , m 2 = E [ X 2 ] = λ 2 + λ , m 3 = E [ X 3 ] = λ 3 + 3 λ 2 + λ , ⋮ {\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}&=E[X]=\lambda ,\\m_{2}&=E[X^{2}]=\lambda ^{2}+\lambda ,\\m_{3}&=E[X^{3}]=\lambda ^{3}+3\lambda ^{2}+\lambda ,\\&\vdots \end{aligned}}} ポアソン分布の n 次の階乗モーメントは λn である。 E ⁡ [ X ( X − 1 ) ⋯ ( X − n + 1 ) ] = λ n . {\displaystyle \operatorname {E} [X(X-1)\dotsb (X-n+1)]=\lambda ^{n}.}

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/19 05:57 UTC 版)

「確率変数」の記事における「モーメント」の解説

詳細は「モーメント (確率論)」を参照 確率変数の確率分布は、多くの場合少数の特性値で規定される。例えば、確率変数の期待値 (E[X]) は確率分布の"1次モーメント"であり、平均とも呼ばれる。一般に、E[f(X)] は f(E[X]) と等しくない。次に、確率変数値が全体として「平均」からどれだけ散らばっているかを表す特性値として分散 (V[X]) および標準偏差 (σ[X]) がある。分散 V[X] とは、X と平均の差の2乗の期待値 E[(X − E[X])2] のことである。 数学的には、与えられた確率変数 X が所属する母集団に関する（一般化された）モーメント問題（英語版）として知られ、確率変数 X の分布の性質を示す期待値 E[fi(X)] の関数のコレクション {fi} である。 モーメントは確率変数が実数関数である場合（複素数等についても）に定義できる。確率変数自身が連続であるならば、変数のモーメント自身は確率変数の恒等関数 f(X) = X と等価である。しかし、非実数の確率変数の場合にも、モーメントをその変数の実数関数として得ることができる。例えば、名義尺度変数 X として「赤」、「青」、「緑」がある場合、実数関数 [ X = green ] {\displaystyle [X={\text{green}}]} を考えることができる。こうしてアイバーソンの記法を用いることで、X が「緑」の時は1、それ以外は0と記述できるので、期待値および他のモーメントを定義できる。

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/01/03 10:17 UTC 版)

「切断ガンマ分布」の記事における「モーメント」の解説

切断ガンマ分布の r 次のモーメントは以下で与えられる。 μ r ′ ( X ) = θ γ Γ z / θ ( k + γ ) Γ z / θ ( k ) {\displaystyle \mu _{r}'(X)={\frac {\theta ^{\gamma }\Gamma _{z/\theta }(k+\gamma )}{\Gamma _{z/\theta }(k)}}} ここで Γx(a) は不完全ガンマ関数であり、 Γ x ( a ) = ∫ 0 x u a − 1 exp ⁡ ( − u ) d u {\displaystyle \Gamma _{x}(a)=\int _{0}^{x}u^{a-1}\exp(-u)\,du} である。

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/08/15 14:25 UTC 版)

「t分布」の記事における「モーメント」の解説

t分布のモーメントは以下の式で表される。 k が奇数の場合 E ( t k ) = { 0 , 0 < k < ν NaN , 0 < ν ≤ k {\displaystyle E(t^{k})={\begin{cases}0,&\quad 0<k<\nu \\{\mbox{NaN}},&\quad 0<\nu \leq k\end{cases}}} k が偶数の場合 E ( t k ) = { Γ ( k + 1 2 ) Γ ( ν − k 2 ) ν k / 2 π Γ ( ν 2 ) , 0 < k < ν ∞ , 0 < ν ≤ k {\displaystyle E(t^{k})={\begin{cases}{\frac {\Gamma ({\frac {k+1}{2}})\Gamma ({\frac {\nu -k}{2}})\nu ^{k/2}}{{\sqrt {\pi }}\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}},&\quad 0<k<\nu \\\infty ,&\quad 0<\nu \leq k\end{cases}}}

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