任意の交叉とは？ わかりやすく解説

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/31 20:12 UTC 版)

「共通部分 (数学)」の記事における「任意の交叉」の解説

集合の（空でない）族 M = { M λ } λ ∈ Λ {\displaystyle {\mathfrak {M}}=\{M_{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }} に対して、その交わりを集合族に属する全ての集合に属する元、つまり すべての λ ∈ Λ に対して x ∈ Mλ となる x の全体であると定義して ⋂ M , ⋂ M ∈ M M , ⋂ λ ∈ Λ M λ {\displaystyle \bigcap {\mathfrak {M}},\quad \bigcap _{M\in {\mathfrak {M}}}M,\quad \bigcap _{\lambda \in \Lambda }M_{\lambda }} などで表す。特に集合列 {Mn}n∈N の交わり（可算交叉）の場合には ⋂ n = 1 ∞ M n = M 1 ∩ M 2 ∩ M 3 ⋯ = M 1 ∩ ( M 2 ∩ ( M 3 ∩ ⋯ ) ) {\displaystyle \bigcap _{n=1}^{\infty }M_{n}=M_{1}\cap M_{2}\cap M_{3}\cdots =M_{1}\cap (M_{2}\cap (M_{3}\cap \cdots ))} のようにも書く。 与えられた集合族の共通部分が空集合となるとき、つまり全ての集合に共通に含まれる元が一つも存在しないとき、その集合族は交わりを持たない (disjoint) という。また、どの二つの集合を取っても交わらないとき、その集合族は対ごとに交わりを持たない (pairwise disjoint) と言う。disjoint ではないが pairwise disjoint な集合族が存在する。

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