保存則とは？ わかりやすく解説

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/05/22 14:52 UTC 版)

「作用 (物理学)」の記事における「保存則」の解説

詳細は「保存則」を参照 ある物理的な対称性の意味を、作用原理と作用原理から導かれるオイラー＝ラグランジュ方程式の中に見出すことができる。ネーターの定理はその一つの例であり、物理系の連続対称性（英語版）にはそれと一対一に対応する保存則があることを示す。この対称性と保存則の対応関係は、作用原理を前提としている。

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/09 13:41 UTC 版)

「ランキン・ユゴニオの式」の記事における「保存則」の解説

上述の物理的仮定のもとで、流体の状態は以下の連続の式、運動量保存則およびエネルギー保存則によって記述される。 ∂ ρ ∂ t = − ∂ ( ρ u ) ∂ x ∂ ( ρ u ) ∂ t = − ∂ ∂ x ( ρ u 2 + p ) ∂ ( ρ E ) ∂ t = − ∂ ∂ x [ ρ u ( e + 1 2 u 2 + p ρ ) ] {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}&=-{\frac {\partial (\rho u)}{\partial x}}\\{\frac {\partial (\rho u)}{\partial t}}&=-{\frac {\partial }{\partial x}}(\rho u^{2}+p)\\{\frac {\partial (\rho E)}{\partial t}}&=-{\frac {\partial }{\partial x}}\left[\rho u\left(e+{\frac {1}{2}}u^{2}+{\frac {p}{\rho }}\right)\right]\end{aligned}}} ここで e ：比内部エネルギーもしくは比エンタルピー、[J/kg] E = e + 1 2 u 2 {\displaystyle E=e+{\frac {1}{2}}u^{2}} ：総エネルギー、[J/kg] である。さらに定常なので時間微分項は 0 になるなどの仮定を用いてこれらを積分すると、以下の式が得られる： Q ≡ ρ u = c o n s t a n t ρ u 2 + p = c o n s t a n t p u + Q ( u 2 2 + e ) = c o n s t a n t {\displaystyle {\begin{aligned}&Q\equiv \rho u={\rm {constant}}\\&\rho u^{2}+p={\rm {constant}}\\&pu+Q\left({\frac {u^{2}}{2}}+e\right)=\mathrm {constant} \end{aligned}}}

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「ボゴリューボフ変換」の記事における「保存則」の解説

スクイーズ変換は、1つの調和振動子の生成消滅演算子を混ぜる変換で、1つのモードの粒子対を生成する。このような変換が可能なのは、この粒子が電荷や運動量などの保存量を持たない場合に限られる。 一方でボゴリューボフ変換ではこの制約を回避するため、2つの調和振動子を導入し、それらの生成消滅演算子を混ぜている。各調和振動子に対応する粒子の量子数（電荷や運動量）が逆であれば、これらの量子数の保存則を満たす。 例えば a ^ 1 {\displaystyle {\hat {a}}_{1}} 、 a ^ 2 {\displaystyle {\hat {a}}_{2}} としてそれぞれ運動量 k {\displaystyle \mathbf {k} } 、 − k {\displaystyle -\mathbf {k} } を持つモードとすると、ボゴリューボフ変換は同じ運動量 k {\displaystyle \mathbf {k} } を持つ演算子の混合になっており、運動量保存則に矛盾せず粒子生成が記述できる。

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「ポインティング・ベクトル」の記事における「保存則」の解説

ポインティング・ベクトルの発散は ∇ ⋅ S = ∇ ⋅ ( E × H ) = H ⋅ ( ∇ × E ) − E ⋅ ( ∇ × H ) = − H ⋅ ∂ B ∂ t − E ⋅ ∂ D ∂ t − E ⋅ j {\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot {\boldsymbol {S}}&=\nabla \cdot ({\boldsymbol {E}}\times {\boldsymbol {H}})\\&={\boldsymbol {H}}\cdot (\nabla \times {\boldsymbol {E}})-{\boldsymbol {E}}\cdot (\nabla \times {\boldsymbol {H}})\\&=-{\boldsymbol {H}}\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {B}}}{\partial t}}-{\boldsymbol {E}}\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {D}}}{\partial t}}-{\boldsymbol {E}}\cdot {\boldsymbol {j}}\\\end{aligned}}} となる。ここで電磁場のエネルギー密度は u = 1 2 ( E ⋅ D + H ⋅ B ) {\displaystyle u={\frac {1}{2}}({\boldsymbol {E}}\cdot {\boldsymbol {D}}+{\boldsymbol {H}}\cdot {\boldsymbol {B}})} で与えられるので、連続の方程式 ∇ ⋅ S + ∂ u ∂ t = − E ⋅ j {\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {S}}+{\frac {\partial u}{\partial t}}=-{\boldsymbol {E}}\cdot {\boldsymbol {j}}} が成り立つ。この式は電磁場のエネルギー保存則を表している。右辺はローレンツ力により電磁場が電荷に仕事をすることで失われるエネルギーを表し、単位体積あたりの電力と解釈される。電場と磁場が振動するためポインティング・ベクトルの強度は時間によって変動する。強度の時間平均は放射束密度と呼ばれる。 I = ⟨ S ⟩ T = 1 2 T ∫ 0 T S d t {\displaystyle {\boldsymbol {I}}=\left\langle {\boldsymbol {S}}\right\rangle _{T}={\frac {1}{2T}}\int _{0}^{T}{\boldsymbol {S}}\,dt} また、ポインティング・ベクトルの空間積分 ∫ V S d V {\displaystyle \int _{V}{\boldsymbol {S}}\,dV} は電磁場の持つ運動量であると解釈される。

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「運動量」の記事における「保存則」の解説

詳細は「運動量保存の法則」を参照 質点系の運動において、特に作用する外力が釣り合っている場合は d P d t = d d t ( ∑ i p i ( t ) ) = 0 {\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {P}}}{dt}}={\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i}{\boldsymbol {p}}_{i}(t)\right)=0} P ( t ) = ∑ i p i ( t ) = const. {\displaystyle {\boldsymbol {P}}(t)=\sum _{i}{\boldsymbol {p}}_{i}(t)={\text{const.}}} が成り立つ。つまり、この系では系の全運動量は時間的に変化しない。これは運動量保存の法則 (law of conservation of momentum) と呼ばれる。運動量保存の法則は、ニュートン力学においては作用反作用の法則から導かれるが、運動量保存則自体は作用反作用の法則より一般的に成り立つ法則である。たとえば、電磁気学などの場の理論では近接作用論の立場をとり、遠隔作用論的な法則である作用反作用の法則をその基礎には置かない。しかしながら、電磁気学においても運動量保存の法則は成り立ち、それに伴い運動量の定義も拡張される。

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