共役類とは？ わかりやすく解説

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「ローレンツ群」の記事における「共役類」の解説

制限ローレンツ群 SO+(1, 3) はメビウス群 PSL(2, C) と同型であるため、その共役類も五つに分けられる。 楕円型変換 双曲型変換 斜航型 (Loxodromic) 変換 放物型変換 自明な恒等変換 メビウス変換の項では、メビウス変換をリーマン球面上に作用させたときの不動点を考えることにより、この分類がどのように生じるかを説明しているが、この不動点はここでは制限ローレンツ変換をミンコフスキー時空に作用させたときのヌル固有空間に相当する。 各分類型の例を、それが生成する1パラメータ部分群（英語版）の影響（たとえば夜空の見かけ）とともに下の節に挙げる。 メビウス変換はリーマン球面（もしくは天球）上の共形変換である。ここで、 SL(2, C) の任意の要素と共役させることにより後述の、楕円型、双曲型、斜航型、放物型ローレンツ変換の任意の要素がそれぞれ得られる。対応する1パラメータ部分群の フロー線 (flow lines) への影響は、共形変換の例に見ることができる。たとえば、楕円型ローレンツ変換は天球状の二つの任意の不動点をもつことができるが、片方の不動点からもう片方の不動点へと弧状のフローを持つ。他の型でも同様である。

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「対称群」の記事における「共役類」の解説

群に関する基本的な問題としてその共役類の分類が挙げられるが、対称群 Sn における共役類は Sn の n への自然な作用に関する軌道の形によって分類される。実際、σ と τ が Sn の元ならば σ と τστ−1 は同じ軌道の形を持っており、逆に σ と υ が同じ軌道の形を持つならば適当な τ ∈ Sn について υ = τστ−1 となっている。これはすなわち、任意の置換を互いに素な巡回置換の積として表したとき、現れる巡回置換の長さが重複度を込めて一致しているような置換は同じ共軛類に入り、またその逆も成り立つということである。たとえば、n = 3 で σ: 1 → 2, 2 → 1, 3 → 3, τ: 1 → 2, 2 → 3, 3 → 1 のとき、σ の軌道は {1, 2}, {3} (σ = (1 2)(3)) であり、一方 τστ−1 の軌道は {1}, {2, 3} (τστ−1 = (1)(2 3)) で、どちらも一つの元からなる軌道を一つと二つの元からなる軌道を一つ持っている。 このように、軌道の形（Sn の元の互いに素な巡回置換の積としての表示）は各自然数 k に対して k 個の元を持つような軌道（長さ k の巡回置換）の数 mk がいくつかを指定することで決定される。このとき、集合 n への作用を考えているので数列 (mk)k は ∑k∈N kmk = n を満たさなければならない（n の分割）。このとき、 1 m 1 2 m 2 … n m n ( 1 m 1 + 2 m 2 + ⋯ + n m n = n ) {\displaystyle 1^{m_{1}}2^{m_{2}}\ldots n^{m_{n}}\quad (1m_{1}+2m_{2}+\cdots +nm_{n}=n)} を置換 σ の巡回置換型 (cycle type)、あるいはたんに型と呼ぶ。Sn の共軛類は巡回置換型によって決まる。また、 n の分割は、位数 n のヤング図形と一対一に対応しており、したがって Sn の共役類は位数 n のヤング図形たちによって記述されることになる。

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