分散関係とは？ わかりやすく解説

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「状態密度」の記事における「分散関係」の解説

粒子の運動エネルギーは波数ベクトル k の大きさと向きに依存する。たとえばフェルミ気体中の電子の運動エネルギーは以下のように得られる。 E = E 0 + ( ℏ k ) 2 2 m {\displaystyle E=E_{0}+{\frac {(\hbar k)^{2}}{2m}}} ここで m は電子質量である。この分散関係は球対称かつ単調増加であるから、DOS を容易に計算することができる。 原子鎖の縦モードフォノンの分散関係は、図2に示すような 1 次元 k 空間上の運動エネルギーについての関数となり、数式で表わすと以下のようになる。 E = 2 ℏ ω 0 | sin ⁡ ( k a / 2 ) | {\displaystyle E=2\hbar \omega _{0}|\sin(ka/2)|} ここで ω 0 = k F / m {\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {k_{F}/m}}} は振動子周波数、m は原子の質量、kF は原子間に働く力の力定数、a は原子間距離である。力定数が小さく、k ≪ π / a が満たされるような値である場合は分散関係は線形となる。 E = ℏ ω 0 k a {\displaystyle E=\hbar \omega _{0}ka} k ≈ π / a の場合は以下のようになる。 E = 2 ℏ ω 0 | cos ⁡ ( π / 2 − k a / 2 ) | {\displaystyle E=2\hbar \omega _{0}|\cos(\pi /2-ka/2)|} 変数変換 q = k − π/a を施して q が小さくなるとき、分散関係は以下のように書ける。 E = 2 ℏ ω 0 [ 1 − ( q a / 2 ) 2 ] {\displaystyle E=2\hbar \omega _{0}[1-(qa/2)^{2}]}

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「表面張力波」の記事における「分散関係」の解説

分散関係とは波の波長と周波数の関係をいう。表面張力の効果に完全に支配される純粋な表面張力波は、重力にも影響される表面張力重力波とは分散関係によって区別できる。

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「素励起」の記事における「分散関係」の解説

基底状態にある多体系が素励起に相当する励起状態になった時、この多体系の運動量がpとなり、エネルギーがεだけ増加したとすると、この素励起の運動量はpでエネルギーはεであるという。εはpについての関数で、その関係をε=ε(p) と書く時、これを分散関係という。 素励起は、その集団を量子統計力学で扱うときに、フェルミ統計に従うものとボース統計に従うものがある。素励起という概念は、準粒子という概念と全く同等か、または密接に関係して使われる。

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