別の座標系
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/02/09 02:15 UTC 版)
シュワルツシルト解は先に示した式で用いられていた座標とは別の座標系によっても表わすことができる。それぞれの座標はこの解のそれぞれ別の側面を強調している。下表にいくつかの一般的な座標をまとめる。 その他の座標系座標系線素備考特徴エディントン・フィンケルシュタイン座標系(英語版)(内向き) ( 1 − r s r ) d v 2 − 2 d v d r − r 2 d Ω 2 {\displaystyle \left(1-{\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}\right)\mathrm {d} v^{2}-2\mathrm {d} v\mathrm {d} r-r^{2}\mathrm {d} \Omega ^{2}} 地平面において正則、未来地平面を超えて拡がる エディントン・フィンケルシュタイン座標系(外向き) ( 1 − r s r ) d u 2 + 2 d u d r − r 2 d Ω 2 {\displaystyle \left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)\mathrm {d} u^{2}+2\mathrm {d} u\mathrm {d} r-r^{2}\mathrm {d} \Omega ^{2}} 地平面において正則、過去地平面を超えて拡がる グルストランド・パンルヴェ座標系(英語版) ( 1 − r s r ) d T 2 − 2 r s r d T d r − d r 2 − r 2 d Ω 2 {\displaystyle \left(1-{\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}\right)\mathrm {d} T^{2}-2{\sqrt {\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}}\mathrm {d} T\mathrm {d} r-\mathrm {d} r^{2}-r^{2}\mathrm {d} \Omega ^{2}} 地平面において正則 等方座標系 ( 1 − r s 4 R ) 2 ( 1 + r s 4 R ) 2 d t 2 − ( 1 + r s 4 R ) 4 ( d x 2 + d y 2 + d z 2 ) {\displaystyle {\frac {(1-{\frac {r_{\mathrm {s} }}{4R}})^{2}}{(1+{\frac {r_{\mathrm {s} }}{4R}})^{2}}}{\mathrm {d} t}^{2}-\left(1+{\frac {r_{\mathrm {s} }}{4R}}\right)^{4}(\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}+\mathrm {d} z^{2})} R = x 2 + y 2 + z 2 {\displaystyle R={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}} 等時間断面において光円錐が等方的 クルスカル・セケレシュ座標系 4 r s 3 r e − r / r s ( d T 2 − d R 2 ) − r 2 d Ω 2 {\displaystyle {\frac {4r_{\mathrm {s} }^{3}}{r}}e^{-r/r_{\mathrm {s} }}(\mathrm {d} T^{2}-\mathrm {d} R^{2})-r^{2}\mathrm {d} \Omega ^{2}} T 2 − R 2 = ( 1 − r r s ) e r / r s {\displaystyle T^{2}-R^{2}=\left(1-{\frac {r}{r_{\mathrm {s} }}}\right)e^{r/r_{\mathrm {s} }}} 地平面において正則、全時空に最大限拡がる ルメートル座標系(英語版) d T 2 − r s r d R 2 − r 2 d Ω 2 {\displaystyle \mathrm {d} T^{2}-{\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}\mathrm {d} R^{2}-r^{2}\mathrm {d} \Omega ^{2}} r = [ 3 2 ( R − T ) ] 2 / 3 r s 1 / 3 {\displaystyle r=\left[{\frac {3}{2}}(R-T)\right]^{2/3}r_{\mathrm {s} }^{1/3}} 地平面において正則 上の表において、簡潔さのためにいくつかの簡略化を用いた。光速 c は1とした。二次元球面の計量を表わすために d Ω 2 = d θ 2 + sin ( θ ) 2 d ϕ 2 {\displaystyle \mathrm {d} \Omega ^{2}=\mathrm {d} \theta ^{2}+\sin(\theta )^{2}\mathrm {d} \phi ^{2}} という表記を用いた。さらに、R および T はそれぞれその座標系における新たな動径座標と座標時を表わす。R および T はそれぞれの座標系によって異なることに注意されたい。
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