多変数の場合とは何？わかりやすく解説 Weblio辞書

多変数の場合

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/17 03:00 UTC 版)

「有界変動函数」の記事における「多変数の場合」の解説

多変数の函数が有界変動であるとは、その超函数微分が有限（英語版）ラドン測度となるときに言う。より精確に: 定義 2.1. (多変数の有界変動函数) Ω を ℝn の開集合とする。可積分函数 u ∈ L1(Ω) が有界変動、すなわち u ∈ BV(Ω) であるとは、有限（英語版）ベクトル値ラドン測度 Du ∈ ℳ(Ω, Rn) が存在して、以下の等式 ∫ Ω u ( x ) div ⁡ φ ( x ) d x = − ∫ Ω ⟨ φ , D u ( x ) ⟩ ( ∀ φ ∈ C c 1 ( Ω , R n ) {\displaystyle \int _{\Omega }u(x)\operatorname {div} \varphi (x){\mathit {dx}}=-\int _{\Omega }\langle \varphi ,Du (x)\rangle \quad (\forall \varphi \in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})} を満たすときに言う。つまり、u は積分により Ω に含まれるコンパクト台を持つ連続的微分可能ベクトル値函数の空間 C 1c (Ω, Rn) 上の線型汎函数を定めるが、したがってベクトル測度 Du はシュヴァルツ超函数としての u の微分あるいは弱勾配である。全変動による同値な定義もできる: 定義 2.2. (多変数の全変動) 可積分函数 u ∈ L1(Ω) の Ω における全変動（英語版）は V ( u , Ω ) = V Ω ( u ) := sup { ∫ Ω u ( x ) div ⁡ φ ( x ) d x : φ ∈ C c 1 ( Ω , R n ) , ‖ φ ‖ ∞ ≤ 1 } {\displaystyle V(u,\Omega )=V_{\Omega }(u):=\sup \left\{\int _{\Omega }u(x)\,\operatorname {div} \varphi (x){\mathit {dx}}:\varphi \in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n}),\,\|\varphi \|_{\infty }\leq 1\right\}} で定義される。ここに、‖ • ‖∞ は Ω 上の本質的上限ノルムである。カチョッポリ集合（英語版）の理論などでは、これが u の弱勾配 Du の全変動であることを強調するために ∫Ω‖ Du ‖ := V(u, Ω) のように書くこともある。同じ記号は u が C1-級（つまり連続かつ微分可能であって、導函数も連続）のときにも用いられ、この場合には実際に u の（真の）勾配の絶対値の積分になっている。このとき、有界変動函数全体の成す空間は B V ( Ω ) = { u ∈ L 1 ( Ω ) : V ( u , Ω ) < + ∞ } {\displaystyle BV(\Omega )=\{u\in L^{1}(\Omega )\colon V(u,\Omega )<+\infty \}} と定義することができる。この二つの定義が同値であることは以下のようにしてわかる。V(u, Ω) < +∞ ならば | ∫ Ω u ( x ) div ⁡ φ ( x ) d x | ≤ V ( u , Ω ) ‖ φ ‖ ∞ ( ∀ φ ∈ C c 1 ( Ω , R n ) , {\displaystyle \left|\int _{\Omega }u(x)\operatorname {div} \varphi (x){\mathit {dx}}\right|\leq V(u,\Omega )\Vert \varphi \Vert _{\infty }\quad (\forall \varphi \in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n}),} したがって φ ↦ ∫Ωu(x)divφ(x)dx は空間 C 1c (Ω, Rn) 上の連続線型汎函数を定める。C 1c (Ω, Rn ⊂ C0(Ω, Rn) は線型部分空間であるから、ハーン–バナッハの定理により、先ほどの連続線型汎函数は C0(Ω, Rn) の全体まで連続かつ線型に延長できる。従って、この連続線型汎函数はリース–マルコフの定理（英語版）によりラドン測度を定義する。

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多変数の場合

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/06/30 18:28 UTC 版)

「ウィルティンガーの微分」の記事における「多変数の場合」の解説

定義2. 複素数体上のユークリッド空間 C n = R 2 n = { ( x , y ) = ( x 1 , … , x n , y 1 , … , y n ) ∣ x , y ∈ R n } {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\mathbb {R} ^{2n}=\left\{\left(\mathbf {x} ,\mathbf {y} \right)=\left(x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{n}\right)\mid \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n}\right\}} を考えよう。ウィルティンガーの微分は次の一階行列線型偏微分作用素として定義される： { ∂ ∂ z 1 = 1 2 ( ∂ ∂ x 1 − i ∂ ∂ y 1 ) ⋮ ∂ ∂ z n = 1 2 ( ∂ ∂ x n − i ∂ ∂ y n ) , { ∂ ∂ z ¯ 1 = 1 2 ( ∂ ∂ x 1 + i ∂ ∂ y 1 ) ⋮ ∂ ∂ z ¯ n = 1 2 ( ∂ ∂ x n + i ∂ ∂ y n ) . {\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\partial }{\partial z_{1}}}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}}-i{\frac {\partial }{\partial y_{1}}}\right)\\&\,\vdots \\{\frac {\partial }{\partial z_{n}}}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x_{n}}}-i{\frac {\partial }{\partial y_{n}}}\right)\\\end{cases}},\qquad {\begin{cases}{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{1}}}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}}+i{\frac {\partial }{\partial y_{1}}}\right)\\&\,\vdots \\{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{n}}}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x_{n}}}+i{\frac {\partial }{\partial y_{n}}}\right)\\\end{cases}}.} 一変数のときと同様これらの偏微分作用素の自然な定義域は領域 Ω {\displaystyle \Omega } ⊆ ℝ2n 上の C 1 {\displaystyle C^{1}} 級関数の空間であるが定数係数の線型作用素のため超関数の空間へと拡張できる。

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多変数の場合

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/03 02:49 UTC 版)

「ランダウの記号」の記事における「多変数の場合」の解説

漸近記法は多変数になっても有効である。たとえば f ( n , m ) = n 2 + m 3 + O ( n + m ) ( as n , m → ∞ ) {\displaystyle f(n,m)=n^{2}+m^{3}+O(n+m)\quad ({\mbox{as }}n,m\to \infty )} という言及が示唆するのは、定数 C, N で ∀ n , m > N : | g ( n , m ) | ≤ C ( n + m ) {\displaystyle \forall n,m>N:|g(n,m)|\leq C(n+m)} を満たすものの存在である。ここで g(n, m) は f ( n , m ) = n 2 + m 3 + g ( n , m ) {\displaystyle f(n,m)=n^{2}+m^{3}+g(n,m)} で定められるものである。混乱を避けるためには、動かす変数は常に明示する必要がある。つまり f ( n , m ) = O ( n m ) ( as n , m → ∞ ) {\displaystyle f(n,m)=O(n^{m})\quad ({\mbox{as }}n,m\to \infty )} という言明は、次の ∀ m : f ( n , m ) = O ( n m ) ( as n → ∞ ) {\displaystyle \forall m:f(n,m)=O(n^{m})\quad ({\mbox{as }}n\to \infty )} とは明確に異なる言明である。