完備な離散付値体とは？ わかりやすく解説

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/11 09:25 UTC 版)

「付値体」の記事における「完備な離散付値体」の解説

完備体 ( K ,   | ⋅ | ) {\displaystyle \scriptstyle (K,\ |\cdot |)} が離散付値体、つまり | ⋅ | {\displaystyle |\cdot |} が離散付値である場合を考える。すると、K の 0 ではない元 α は、以下の形に一意的に表現される： α = ∑ n = r ∞ c n π n         ( c n ∈ Γ ,   c r ≠ 0 ) {\displaystyle \alpha =\sum _{n=r}^{\infty }c_{n}\pi _{n}\ \ \ \ (c_{n}\in \Gamma ,\ c_{r}\neq 0)} 但し、 R | ⋅ | ⊃ Γ {\displaystyle \scriptstyle R_{|\cdot |}\supset \Gamma } は、 | ⋅ | {\displaystyle |\cdot |} の剰余体 R | ⋅ | / m | ⋅ | {\displaystyle \scriptstyle R_{|\cdot |}/{\mathfrak {m}}_{|\cdot |}} の 0 を含む完全代表系、 { π n } {\displaystyle \scriptstyle \{\pi _{n}\}\!} は | ⋅ | {\displaystyle |\cdot |} の素元である。 特に π を素元とし、 π n = π n {\displaystyle \pi _{n}=\pi ^{n}} とすれば α = ∑ n = r ∞ c n π n         ( c n ∈ Γ ,   c r ≠ 0 ) {\displaystyle \alpha =\sum _{n=r}^{\infty }c_{n}\pi ^{n}\ \ \ \ (c_{n}\in \Gamma ,\ c_{r}\neq 0)} と表される。付値イデアルを p = ( π ) {\displaystyle {\mathfrak {p}}=(\pi )} としたとき、上記の展開のことを K の p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} 進展開という。 例として、p進体 Q p {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}} の元 α は α = ∑ n = r ∞ c n p n         ( c n = 0 , 1 , … , p − 1 ,   c r ≠ 0 ) {\displaystyle \alpha =\sum _{n=r}^{\infty }c_{n}p^{n}\ \ \ \ (c_{n}=0,1,\ldots ,p-1,\ c_{r}\neq 0)} と表現される。これを p進体のp進展開という。

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