実線型空間とは？ わかりやすく解説

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/07/08 02:35 UTC 版)

「函数の全微分」の記事における「実線型空間」の解説

M がベクトル空間 Rn の開集合で、f: M → R は微分可能とする。任意の点 p ∈ M における全微分 df(p): Rn → R は、各ベクトル v = (v1, …, vn) に対して方向微分を割り当てる線型写像、即ち d f ( p ) : R n → R ; v ↦ ∂ v f ( p ) = d d t f ( p + t v ) | t = 0 = ∑ i = 1 n ∂ f ∂ x i ( p ) v i {\displaystyle {\mathit {df}}(p)\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ;\;v\mapsto \partial _{v}f(p)=\left.{\frac {d}{\mathit {dt}}}f({p}+t{v})\right|_{t=0}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}(p)v^{i}} である。df(p) は R-値であるから、これは線型形式であり、また dxi をベクトルの第 i-成分を取り出す写像（双対基底） d x i ( v ) = d x i ( v 1 , … , v n ) = v i {\displaystyle {\mathit {dx}}^{i}(v)={\mathit {dx}}^{i}(v^{1},\ldots ,v^{n})=v^{i}} とすれば、上記は d f ( p ) = ∑ i = 1 n ∂ f ∂ x i ( p ) d x i {\displaystyle {\mathit {df}}(p)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}(p)\,{\mathit {dx}}^{i}} と書ける。あるいはまた勾配を用いて [ d f ( p ) ] ( v ) = ∇ f ( p ) ⋅ v = grad ⁡ ( f ) ⋅ v {\displaystyle [{\mathit {df}}(p)](v)=\nabla f(p)\cdot v=\operatorname {grad} (f)\cdot v} と書くこともできる。右辺は点乗積である。

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