曲率とは？ わかりやすく解説

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/02/09 04:18 UTC 版)

「接続形式」の記事における「曲率」の解説

E の接続形式の曲率 2-形式(curvature two-form)は、 Ω ( e ) = d ω ( e ) + ω ( e ) ∧ ω ( e ) . {\displaystyle \Omega (\mathbf {e} )=d\omega (\mathbf {e} )+\omega (\mathbf {e} )\wedge \omega (\mathbf {e} ).} Ω ( e g ) = g − 1 Ω ( e ) g {\displaystyle \Omega (\mathbf {e} \,g)=g^{-1}\Omega (\mathbf {e} )g} Ω = e Ω ( e ) e ∗ {\displaystyle \Omega ={\mathbf {e} }\Omega (\mathbf {e} ){\mathbf {e} }^{*}} Ω ∈ Γ ( Ω 2 M ⊗ Hom ( E , E ) ) {\displaystyle \Omega \in \Gamma (\Omega ^{2}M\otimes {\text{Hom}}(E,E))} となる。 外積接続 D のことばでは、v ∈ E に対し曲率準同型は、 Ω ( v ) = D ( D v ) = D 2 v {\displaystyle \Omega (v)=D(Dv)=D^{2}v\,} Γ ( E )   → D   Γ ( E ⊗ Ω 1 M )   → D   Γ ( E ⊗ Ω 2 M )   → D   …   → D   Γ ( E ⊗ Ω n ( M ) ) . {\displaystyle \Gamma (E)\ {\stackrel {D}{\to }}\ \Gamma (E\otimes \Omega ^{1}M)\ {\stackrel {D}{\to }}\ \Gamma (E\otimes \Omega ^{2}M)\ {\stackrel {D}{\to }}\ \dots \ {\stackrel {D}{\to }}\ \Gamma (E\otimes \Omega ^{n}(M)).}

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「接続形式」の記事における「曲率」の解説

レヴィ・チヴィタ接続の曲率 2-形式は、 Ω i j ( e ) = d ω i j ( e ) + ∑ k ω k j ( e ) ∧ ω i k ( e ) {\displaystyle \Omega _{i}^{j}(\mathbf {e} )=d\omega _{i}^{j}(\mathbf {e} )+\sum _{k}\omega _{k}^{j}(\mathbf {e} )\wedge \omega _{i}^{k}(\mathbf {e} )} Ω i j = d ( Γ q i j θ q ) + ( Γ p k j θ p ) ∧ ( Γ q i k θ q ) = θ p ∧ θ q ( ∂ p Γ q i j + Γ p k j Γ q i k ) ) = 1 2 θ p ∧ θ q R p q i j {\displaystyle {\begin{array}{ll}\Omega _{i}^{j}&=d(\Gamma _{qi}^{j}\theta ^{q})+(\Gamma _{pk}^{j}\theta ^{p})\wedge (\Gamma _{qi}^{k}\theta ^{q})\\&\\&=\theta ^{p}\wedge \theta ^{q}\left(\partial _{p}\Gamma _{qi}^{j}+\Gamma _{pk}^{j}\Gamma _{qi}^{k})\right)\\&\\&={\tfrac {1}{2}}\theta ^{p}\wedge \theta ^{q}R_{pqi}{}^{j}\end{array}}} を得る。ここに R はリーマン曲率テンソルである。

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「縮閉線」の記事における「曲率」の解説

縮閉線 E の曲率は、それを弧長変数 σ で二回微分することにより求まる。まず dσ/ds = |dR/ds| であるから、(1) 式から

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「符号の規約」の記事における「曲率」の解説

リッチテンソル Rμν はリーマンテンソル Rμναβ の縮約として定義されるが、その縮約には次の2通りの取り方がある: Rμν = Rαμαν Rμν = Rαμνα リーマンテンソルの対称性により、この2つの定義は符号だけ異なる。またリーマンテンソルの定義についても符号だけを変える2通りの定義があり、これら2通りずつの定義を協働して用いることで、異なる規約についても同一の物理を与える。

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「アポロニウスのギャスケット」の記事における「曲率」の解説

円の曲率は半径の逆数として定義される。 負の曲率を有する円は他の全ての円を包含する。 曲率 0 は直線（半径が無限大の円）である。 正の曲率を有する円は他の円と外接する。 ギャスケット内に整数の曲率を有する円が少なくとも4つあれば、ギャスケット内の円は全て整数の曲率を有する。以下に例を示す。 曲率 (−1, 2, 2, 3) 曲率 (−3, 5, 8, 8) 曲率 (−12, 25, 25, 28) 曲率 (−6, 10, 15, 19) 曲率 (−10, 18, 23, 27)

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