有理タングルと代数的タングルとは？ わかりやすく解説

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/18 06:39 UTC 版)

「タングル」の記事における「有理タングルと代数的タングル」の解説

有理タングル(rational tangle)とは 2-タングルであって、自明な 2-タングル(交差を持たないタングル)と同相なもののことを言う。通常、その四つの端点は方位からの類推で NE(北東)、NW(北西)、SW(南西)、SE(南東) と呼ばれる。 有理タングルの任意の表示をとると、それはとても複雑に見えるが、実は単純な表示がある。まず水平[resp. 垂直]な二本の曲線を持つタングルの表示を考え、それに「ひねり」を追加する。即ち NE と SE [resp. SW と SE] の端点を入れ替えることによって交差を一つ追加する。これらの操作を繰り返すことによって有理タングルの表示が得られる。ちなみに上記の操作の際、ひねりを加えた端点に近いところだけが変化し、それ以外の部分は変化しないとしてよい。 有理タングルのこのような表示を、端点同士を連続してひねった数の組として記述することができる。例えば (-2,1,3) という数の組は、水平な二本の曲線からなるタングル表示から始めて、まず NE/SE の端点を 2回ひねり、次に SW/SE の端点を 1回ひねり、そして NE/SE の端点を 3回、前回とは逆方向にひねってできる表示を表している。数の組が 0 から始まっている場合、二本の垂直な曲線からなるタングルから始めることにする。すると水平な二本の曲線からなるタングル表示は (0) と表せるが、垂直な二本の曲線からなるタングル表示は (0,0) となる。この約束は「正」「負」のひねりを記述するのに必要だ。 しばしばここまで説明してきたような数の組を指して、「有理タングル」と呼ぶこともある。 有理タングル ( a 0 , a 1 , a 2 , … ) {\displaystyle (a_{0},a_{1},a_{2},\dots )} に対する分数とは [ a 0 , a 1 , a 2 , … ] {\displaystyle [a_{0},a_{1},a_{2},\dots ]} によって与えられる連分数である。(0,0) に対応する分数は ∞ {\displaystyle \infty } とする。コンウェイは、有理タングルに対する分数は矛盾なく定義され、有理タングルを(タングルの同値による差を除いて)完全に決定することを証明した。また、彼はアレクサンダー多項式を用いて任意のタングルに対して分数を定義した。 タングルの間には和、積、逆数をとる「数論的な」操作がある。 有理タングルの 分子閉包 とはタングルの「北側の」端点どうしと「南側の」端点どうしを結んで得られる絡み目のことである。また 分母閉包 とは同様に「東側の」端点と「西側の」端点を結んで得られる。有理絡み目 はこれらのような閉包として表すことのできる絡み目として定義される。

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