波動方程式の導出とは？ わかりやすく解説

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/11/18 16:11 UTC 版)

「固有振動」の記事における「波動方程式の導出」の解説

線密度ρ(kg/m)で張力T(N)で引っ張られている弦がXY平面上にあるとする。その弦のxとx+δxの微小部分について考える。位置xにおける弦の接線とx軸のなす角を θ x {\displaystyle \theta _{x}} 、位置x+δxにおける弦の接線とx軸のなす角を θ x + δ x {\displaystyle \theta _{x+\delta x}} とすると張力 T A {\displaystyle T_{A}} と T B {\displaystyle T_{B}} のx方向成分、y方向成分は次のように表すことができる。 T A x = − T cos ⁡ θ x {\displaystyle T_{A}^{x}=-T\cos \theta _{x}} T A y = − T sin ⁡ θ x {\displaystyle T_{A}^{y}=-T\sin \theta _{x}} T B x = T cos ⁡ θ ( x + δ x ) {\displaystyle T_{B}^{x}=T\cos \theta _{(x+\delta x)}} T B y = T sin ⁡ θ ( x + δ x ) {\displaystyle T_{B}^{y}=T\sin \theta _{(x+\delta x)}} したがってy方向の力 F y {\displaystyle F_{y}} は F y = T A y + T B y = T sin ⁡ θ ( x + δ x ) − T sin ⁡ θ x {\displaystyle F_{y}=T_{A}^{y}+T_{B}^{y}=T\sin \theta _{(x+\delta x)}-T\sin \theta _{x}} … (3-1) ここで T sin ⁡ θ ( x + δ x ) {\displaystyle T\sin \theta _{(x+\delta x)}} にテイラー級数展開を適用すると T sin ⁡ θ ( x + δ x ) = T sin ⁡ θ x + ∂ T sin ⁡ θ x ∂ x δ x + ∂ 2 T sin ⁡ θ x 2 ∂ x 2 ( δ x ) 2 + ⋯ {\displaystyle T\sin \theta _{(x+\delta x)}=T\sin \theta _{x}+{\frac {\partial T\sin \theta _{x}}{\partial x}}\delta x+{\frac {{\partial }^{2}T\sin \theta _{x}}{2\partial x^{2}}}(\delta x)^{2}+\cdots } δxは微小であるため2次以上の項を無視できる。よって T sin ⁡ θ ( x + δ x ) = T sin ⁡ θ x + ∂ T sin ⁡ θ x ∂ x δ x {\displaystyle T\sin \theta _{(x+\delta x)}=T\sin \theta _{x}+{\frac {\partial T\sin \theta _{x}}{\partial x}}\delta x} … (3-2) (3-2)を(3-1)に代入すると、 F y = T sin ⁡ θ x + ∂ T sin ⁡ θ x ∂ x δ x − T sin ⁡ θ x = ∂ T sin ⁡ θ x ∂ x δ x {\displaystyle F_{y}=T\sin \theta _{x}+{\frac {\partial T\sin \theta _{x}}{\partial x}}\delta x-T\sin \theta _{x}={\frac {\partial T\sin \theta _{x}}{\partial x}}\delta x} θ十分に小さいとき sin ⁡ θ ≈ tan ⁡ θ {\displaystyle \sin \theta \approx \tan \theta } と近似できる。また tan ⁡ θ = ∂ y ∂ x {\displaystyle \tan \theta ={\frac {\partial y}{\partial x}}} と置き換えられるから F y = T ∂ 2 y ∂ x 2 δ x {\displaystyle F_{y}=T{\frac {{\partial }^{2}y}{\partial x^{2}}}\delta _{x}} … (3-3) 線分 δ s {\displaystyle \delta s} の質量は ρ δ s {\displaystyle \rho \delta s} であるから[ニュートンの運動方程式は T ∂ 2 y ∂ x 2 δ x = ρ δ s ∂ 2 y ∂ t 2 {\displaystyle T{\frac {{\partial }^{2}y}{\partial x^{2}}}\delta x=\rho \delta s{\frac {{\partial }^{2}y}{\partial t^{2}}}} δyが小さいから δ s ≈ δ x {\displaystyle \delta s\approx \delta x} ,さらに v {\displaystyle v} = T ρ {\displaystyle {\sqrt {T \over \rho }}} とおくと ∂ 2 y ∂ x 2 = 1 v 2 ∂ 2 y ∂ t 2 {\displaystyle {\frac {{\partial }^{2}y}{\partial x^{2}}}={1 \over {v^{2}}}{\frac {{\partial }^{2}y}{\partial t^{2}}}} … (3-4) の波動方程式を得る。

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「固有振動」の記事における「波動方程式の導出」の解説

断面積Sの円筒の中の空気の振動を考える。空気の密度をρ[g/㎥]、空気のx軸方向の変位をy(x,t)とする。大気圧を P 0 {\displaystyle P_{0}} とすると、位置xにおける圧力は P 0 + δ P ( x , t ) {\displaystyle P_{0}+\delta P(x,t)} と表される。 この円筒の中のxとx+δxの微小部分について考える。空気が振動していないとき微小部分の体積はV=Sδxである。空気が振動したときの体積の変化は δ V = S ( y ( x + δ x , t ) − y ( x , t ) ) {\displaystyle \delta V=S(y(x+\delta x,t)-y(x,t))} … (4-1) と表される。空気の体積と圧力の間には δ P = − K δ V V {\displaystyle \delta P=-K{\delta V \over V}} … (4-2) の関係が成り立つ。ここでKは体積弾性率である。(4-1)を(4-2)に代入すると δ P = − K S ( y ( x + δ x , t ) − y ( x , t ) ) S δ x {\displaystyle \delta P=-K{S(y(x+\delta x,t)-y(x,t)) \over S\delta x}} δx→0で δ P = − K ∂ y ( x , t ) ∂ x {\displaystyle \delta P=-K{\partial y(x,t) \over \partial x}} … (4-3) 空気の断面にはそれぞれ圧力がはたらいている。xにおける断面にはたらく力は F x = S ( P 0 + δ P ( x , t ) ) {\displaystyle F_{x}=S(P_{0}+\delta P(x,t))} x+δxにおける断面にはたらく力は F x + δ x = − S ( P 0 + δ P ( x + δ x , t ) ) {\displaystyle F_{x+\delta x}=-S(P_{0}+\delta P(x+\delta x,t))} したがって微小部分にはたらく力は F = S ( − P 0 − δ P ( x + δ x , t ) + P 0 + δ P ( x , t ) ) = − S ( δ P ( x + δ x , t ) − δ P ( x , t ) ) {\displaystyle F=S(-P_{0}-\delta P(x+\delta x,t)+P_{0}+\delta P(x,t))=-S(\delta P(x+\delta x,t)-\delta P(x,t))} … (4-4) また微小部分の質量は m = ρ S δ x {\displaystyle m=\rho S\delta x} であり、ニュートンの運動方程式を整理すると ρ ∂ 2 y ∂ t 2 = − δ P ( x + δ x , t ) − δ P ( x , t ) δ x {\displaystyle \rho {\frac {{\partial }^{2}y}{\partial t^{2}}}=-{\delta P(x+\delta x,t)-\delta P(x,t) \over \delta x}} x→0で ρ ∂ 2 y ∂ t 2 = − ∂ δ P ( x , t ) ∂ x {\displaystyle \rho {\frac {{\partial }^{2}y}{\partial t^{2}}}=-{\frac {\partial \delta P(x,t)}{\partial x}}} … (4-5) (4-3),(4-5)より ρ ∂ 2 y ∂ t 2 = K ∂ 2 y ∂ x 2 {\displaystyle \rho {\frac {{\partial }^{2}y}{\partial t^{2}}}=K{\frac {{\partial }^{2}y}{\partial x^{2}}}} v {\displaystyle v} = K ρ {\displaystyle {\sqrt {K \over \rho }}} とおくと ∂ 2 y ∂ x 2 = 1 v 2 ∂ 2 y ∂ t 2 {\displaystyle {\frac {{\partial }^{2}y}{\partial x^{2}}}={1 \over {v^{2}}}{\frac {{\partial }^{2}y}{\partial t^{2}}}} … (4-6) の波動方程式を得る。

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