解析力学とは？ わかりやすく解説

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「オイラーの式」の記事における「解析力学」の解説

オイラー方程式 - 変分法による運動方程式。解析力学の基礎方程式でもあり、オイラー＝ラグランジュ方程式 （Euler–Lagrange equation）とも呼ばれる。 ∂ L ∂ q i − d d t ( ∂ L ∂ q ˙ i ) = 0 {\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}-{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)=0}

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「ルジャンドル変換」の記事における「解析力学」の解説

「シンプレクティック幾何学」も参照 解析力学では、ラグランジアン L をハミルトニアン H に変換する際に、ルジャンドル変換が用いられる。座標を q としたときに正準運動量を p = ∂L/∂·q として、ハミルトニアンは H = q ˙ p − L {\displaystyle H={\dot {q}}p-L} と定義される。これによって、L(q, ·q) から H(q, p) になる。実際これは以下の関係を満たす。 ∂ H ∂ q ˙ = p − ∂ L ∂ q ˙ = 0. {\displaystyle {\frac {\partial H}{\partial {\dot {q}}}}=p-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}=0.} このハミルトニアンとオイラー＝ラグランジュ方程式あるいは最小作用の原理を組み合わせることで正準方程式が導かれる。ハミルトニアンの全微分は、 d H = ∂ H ∂ p d p + ∂ H ∂ q d q + ∂ H ∂ t d t {\displaystyle \mathrm {d} H={\frac {\partial H}{\partial p}}\mathrm {d} p+{\frac {\partial H}{\partial q}}\mathrm {d} q+{\frac {\partial H}{\partial t}}\mathrm {d} t} と書けるが、一方でハミルトニアンの定義より、 d H = p d q ˙ + q ˙ d p − ∂ L ∂ q d q − ∂ L ∂ q ˙ d q ˙ − ∂ L ∂ t d t = p d q ˙ + q ˙ d p − p ˙ d q − p d q ˙ − ∂ L ∂ t d t = q ˙ d p − p ˙ d q − ∂ L ∂ t d t {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} H&=p\mathrm {d} {\dot {q}}+{\dot {q}}\mathrm {d} p-{\frac {\partial L}{\partial q}}\mathrm {d} q-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\mathrm {d} {\dot {q}}-{\frac {\partial L}{\partial t}}\mathrm {d} t\\&=p\mathrm {d} {\dot {q}}+{\dot {q}}\mathrm {d} p-{\dot {p}}\mathrm {d} q-p\mathrm {d} {\dot {q}}-{\frac {\partial L}{\partial t}}\mathrm {d} t\\&={\dot {q}}\mathrm {d} p-{\dot {p}}\mathrm {d} q-{\frac {\partial L}{\partial t}}\mathrm {d} t\end{aligned}}} となるので、ハミルトニアンの偏微分は以下の関係を満たす。この内、正準変数 p, q の偏微分に関する式をまとめて正準方程式 (canonical equations) と呼ぶ。 { ∂ H ∂ p = q ˙ ∂ H ∂ q = − p ˙ d H d t = − ∂ L ∂ t {\displaystyle {\begin{cases}&{\dfrac {\partial H}{\partial p}}={\dot {q}}\\&{\dfrac {\partial H}{\partial q}}=-{\dot {p}}\\&{\dfrac {\mathrm {d} H}{\mathrm {d} t}}=-{\dfrac {\partial L}{\partial t}}\end{cases}}} 逆にハミルトニアンからラグランジアンを得る場合には、関数 L を以下のように定義し、 L = q ˙ p − H {\displaystyle L={\dot {q}}p-H} 変数 p に対する偏微分が 0 になるようにする。すなわち、 ∂ L ∂ p = q ˙ − ∂ H ∂ p = 0. {\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial p}}={\dot {q}}-{\frac {\partial H}{\partial p}}=0.} 結局このとき変数 ·q はハミルトニアンの運動量微分に等しくなる。 多変数の場合には、ラグランジアンのすべての一般化速度についてルジャンドル変換を施したものがハミルトニアンと呼ばれる。また部分的にルジャンドル変換をしたものはラウシアン（英語版） (Routhian) と呼ばれる。

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「力 (物理学)」の記事における「解析力学」の解説

「オイラー＝ラグランジュ方程式#ニュートン力学との関係」も参照 解析力学における力は、ニュートン力学の定義と異なり、オイラー＝ラグランジュ方程式を通じて一般化運動量 (generalized momentum) の時間微分に等しくなる関数として与えられる。一般化運動量の時間微分という意味での力は、一般化力 (generalized force) あるいは広義の力と呼ばれ、ニュートン力学における力とは区別される。 一般化運動量はラグランジアンの一般化速度による偏微分として定義される。一般化運動量を P、ラグランジアンを L、一般化座標の組を q、一般化速度の組を ·q と表せば、一般化運動量は以下のように定義される。 P ( q , q ˙ , t ) = ∂ L ( q , q ˙ , t ) ∂ q ˙ . {\displaystyle {\boldsymbol {P}}({\boldsymbol {q}},{\dot {\boldsymbol {q}}},t)={\frac {\partial L({\boldsymbol {q}},{\dot {\boldsymbol {q}}},t)}{\partial {\dot {\boldsymbol {q}}}}}.} オイラー＝ラグランジュ方程式 ∂ L ( q , q ˙ , t ) ∂ q | ( q , q ˙ ) = ( q ( t ) , q ˙ ( t ) ) = d d t ( ∂ L ( q , q ˙ , t ) ∂ q ˙ | ( q , q ˙ ) = ( q ( t ) , q ˙ ( t ) ) ) {\displaystyle \left.{\frac {\partial L({\boldsymbol {q}},{\dot {\boldsymbol {q}}},t)}{\partial {\boldsymbol {q}}}}\right|_{({\boldsymbol {q}},{\dot {\boldsymbol {q}}})=({\boldsymbol {q}}(t),{\dot {\boldsymbol {q}}}(t))}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(\left.{\frac {\partial L({\boldsymbol {q}},{\dot {\boldsymbol {q}}},t)}{\partial {\dot {\boldsymbol {q}}}}}\right|_{({\boldsymbol {q}},{\dot {\boldsymbol {q}}})=({\boldsymbol {q}}(t),{\dot {\boldsymbol {q}}}(t))}\right)} を一般化運動量 P で書き換えると、以下のように書ける。 ∂ L ( q , q ˙ , t ) ∂ q | ( q , q ˙ ) = ( q ( t ) , q ˙ ( t ) ) = d d t ( P ( q , q ˙ , t ) | ( q , q ˙ ) = ( q ( t ) , q ˙ ( t ) ) ) {\displaystyle \left.{\frac {\partial L({\boldsymbol {q}},{\dot {\boldsymbol {q}}},t)}{\partial {\boldsymbol {q}}}}\right|_{({\boldsymbol {q}},{\dot {\boldsymbol {q}}})=({\boldsymbol {q}}(t),{\dot {\boldsymbol {q}}}(t))}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(\left.{\boldsymbol {P}}({\boldsymbol {q}},{\dot {\boldsymbol {q}}},t)\right|_{({\boldsymbol {q}},{\dot {\boldsymbol {q}}})=({\boldsymbol {q}}(t),{\dot {\boldsymbol {q}}}(t))}\right)} 上記のオイラー＝ラグランジュ方程式の右辺から、一般化力 Ψ は次のように定義される。 Ψ ( q , q ˙ , t ) = ∂ L ( q , q ˙ , t ) ∂ q . {\displaystyle {\boldsymbol {\Psi }}({\boldsymbol {q}},{\dot {\boldsymbol {q}}},t)={\frac {\partial L({\boldsymbol {q}},{\dot {\boldsymbol {q}}},t)}{\partial {\boldsymbol {q}}}}.} オイラー＝ラグランジュ方程式 Ψ ( q , q ˙ , t ) | ( q , q ˙ ) = ( q ( t ) , q ˙ ( t ) ) = d d t ( P ( q , q ˙ , t ) | ( q , q ˙ ) = ( q ( t ) , q ˙ ( t ) ) ) {\displaystyle \left.{\boldsymbol {\Psi }}({\boldsymbol {q}},{\dot {\boldsymbol {q}}},t)\right|_{({\boldsymbol {q}},{\dot {\boldsymbol {q}}})=({\boldsymbol {q}}(t),{\dot {\boldsymbol {q}}}(t))}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(\left.{\boldsymbol {P}}({\boldsymbol {q}},{\dot {\boldsymbol {q}}},t)\right|_{({\boldsymbol {q}},{\dot {\boldsymbol {q}}})=({\boldsymbol {q}}(t),{\dot {\boldsymbol {q}}}(t))}\right)} とニュートンの運動方程式 F ( t ) = d d t p ( t ) {\displaystyle {\boldsymbol {F}}(t)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\boldsymbol {p}}(t)} と見比べれば、左辺の一般化力 Ψ は力に相当する量であることが分かる。

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「天体力学」の記事における「解析力学」の解説

ニュートンのプリンキピアは当時考案されたばかりの微分法および積分法の使用を避け幾何学的な考察に基づくものであり極めて難解なものであった。プリンキピアの出版後18世紀初頭にかけてピエール・ヴァリニョン (1654-1722)、ヨハン・ベルヌーイ (1667-1748)、Jakob Hermann (1678-1733) らはプリンキピアの内容をゴットフリート・ライプニッツ (1646-1716) らによる微積分学の言葉を用いて理解するようになった。1730年頃からはダニエル・ベルヌーイ (1700-1782)、レオンハルト・オイラー (1707-1783)、アレクシス・クレロー (1713-1765)、ジャン・ル・ロン・ダランベール (1717-1783)らによって保存則やポテンシャルの概念などが導入され、1760年頃までには現在の力学に近い形にまで整備された。ダランベールは1743年に Traité de dynamique を出版した。オイラーは1749年にニュートンの運動方程式を初めて現在知られている形で書き下している。ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ (1736-1813) は1750年代から統一的な原理に基づく力学の再構築に取り組み、現在解析力学（特にラグランジュ力学）として知られる体系を1788年の著書 Mécanique analytique（英語版） にまとめ上げた。

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「ニュートン力学」の記事における「解析力学」の解説

詳細は「解析力学」を参照 ニュートン力学はラグランジュ形式やハミルトン形式で再定式化された。これらは、ニュートンの運動法則を座標系の取り方によらずに一般的に成立するように構成されたもので、ラグランジュ形式では、最小作用の原理（変分原理）からニュートンの運動方程式を再現する。ハミルトン形式では、正準変数とポアソン括弧を用いることにより、ニュートンの運動方程式に対応する正準方程式を対称な形で表現することができる。

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「ハミルトニアン」の記事における「解析力学（古典力学）」の解説

解析力学または古典力学においてハミルトニアン H とは、T を運動エネルギー、V をポテンシャルエネルギーとして、全エネルギー を H = H ( q , p ; t ) = T + V {\displaystyle H=H(q,p;t)\,=T+V} のように一般化座標 q 、一般化運動量 p によって表した関数のことである。但し t は時間とする。

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