解析学においてとは？ わかりやすく解説

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「不動点定理」の記事における「解析学において」の解説

バナッハの不動点定理は、反復合成写像が不動点を持つことを保証するために満たすべき条件に関する一般的な判定法を与える。。一方、ブラウワーの不動点定理は構成的な方法ではなく、「n-次元ユークリッド空間における閉単位球からそれ自身への連続関数は必ず不動点をもつ」ことを述べる が、どのように不動点を求めればよいかについて何も言及しない（スペルナーの補題（英語版）も参照）。 たとえば、余弦関数 cos は区間 [−1, 1] において連続な [−1, 1] への函数であるから、不動点を持たねばならない。グラフを書けば明らかに、余弦曲線 y = cos(x) は直線 y = x と交わり、そこに不動点を持つ。この不動点は、数値的にはおよそ x = 0.73908513321516… である。 代数的位相幾何学におけるレフシェッツの不動点定理（およびニールセンの不動点定理）は、ある意味で「不動点の個数を数える方法」を示すものであるため重要である。これらは、バナッハ空間や他のさらに抽象的な空間への一般化が数多く知られており、偏微分方程式論に応用されている。詳しくは無限次元空間における不動点定理を参照されたい。 このほか、コラージュ定理（英語版）はフラクタル圧縮の分野における定理であり、多くの画像に対して、ある比較的小さな式で表される関数が存在して「どんな初期値の画像から始めても、その関数を繰り返し適用すれば、急速に目的の画像に収束する」ようにできることが証明するものである。

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「定数」の記事における「解析学において」の解説

初等解析学において定数は、そこで扱う演算によっていくつか異なる扱いをされる。例えば微分において、定数函数の導函数は零函数である。これは取りも直さず、微分係数が函数のある変数に関する変化率を測るものであって、定数函数は定義により変化をしないものなのだから、導函数が零であるのは必然である。他方、積分の場合は定数函数の原始函数において、その定数函数の値は積分変数に掛かる係数になる。極限の評価においては、定数は評価の前後で変わらず同じ値のままである。 一変数函数の不定積分においては積分定数（英語版）が含まれる。これが生じるのは不定積分が微分して得られる函数の原函数を恢復することを目的とするという意味において微分の逆演算になっているという不定積分の性質によるものである。既に注意したように定数函数の微分は零函数であり、微分演算は線型作用素であるから、定数だけしか違わない任意の函数同士は同じ導函数を持つ。このことの重要性を顕示するために積分定数は不定積分に加えられ、それにより可能なすべての解函数を表すことが保証される。積分定数（一般に C と書かれる）は、それが固定されているが未知 (fixed but undefined) の値であるものという意味での「定数」を表している。

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