逆像とは？ わかりやすく解説

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/01/18 00:35 UTC 版)

「射影 (集合論)」の記事における「逆像」の解説

J ⊂ I が添字集合 I の真の部分集合で、W ⊂ XJ を射影 πJ の終域の部分集合とするとき、W の逆像は π J − 1 ( W ) = W × X I ∖ J = { ( x i ) i ∈ I ∈ X I ∣ ( x j ) j ∈ J ∈ W } {\displaystyle \pi _{J}^{-1}(W)=W\times X_{I\setminus J}=\{(x_{i})_{i\in I}\in X_{I}\mid (x_{j})_{j\in J}\in W\}} と書くことができる。従って集合 π −1J (W) は円筒集合（ドイツ語版）でもある。

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/12/29 07:19 UTC 版)

「像 (数学)」の記事における「逆像」の解説

f が X から Y への写像とするとき、部分集合 B ⊆ Y の f による原像あるいは逆像とは f − 1 [ B ] := { x ∈ X ∣ f ( x ) ∈ B } {\displaystyle f^{-1}[B]:=\{x\in X\mid f(x)\in B\}} で定義される X の部分集合である。f による引戻し (pull-back) とも呼ばれる。 この集合は f が全単射でなくとも定義されるが, 全単射のときには f − 1 [ B ] {\displaystyle f^{-1}[B]} は f − 1 {\displaystyle f^{-1}} による B の像を表す記号とも解釈できるため, 文脈によってどちらの意味なのか判断せねばならない. 一元集合の逆像 f−1[{y}] あるいは f−1[y] は y 上のファイバーあるいは y のレベル集合などとも呼ばれる。y の各元の上のファイバー全体からなる集合は Y で添字付けられた集合族になっている。同様にしてファイバー付けられた圏の概念を考えることもできる。 やはり、f−1[B] を f −1(B) と書くことに紛れの恐れはなく、f−1 を Y の冪集合から X の冪集合への写像として考えることができる。ただし、記号 f−1 を逆写像と混同すべきではない（両者が一致するのは f が全単射のときに限る）。

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