量子力学での応用とは？ わかりやすく解説

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/04/07 03:05 UTC 版)

「球面調和関数」の記事における「量子力学での応用」の解説

量子力学で、球対称なポテンシャル V(r) に対する1粒子シュレーディンガー方程式（代表的なものは水素原子のシュレーディンガー方程式） { − ℏ 2 2 m ∇ 2 + V ( r ) } ψ ( r ) = E ψ ( r ) {\displaystyle \left\{-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(r)\right\}\psi ({\boldsymbol {r}})=E\psi ({\boldsymbol {r}})} を解いたときに、球面調和関数が現れる。量子力学では Y mℓ の ℓ, m を量子数と呼び、それぞれ ℓ を方位量子数、m を磁気量子数という。 球面調和関数は軌道角運動量 ℓ と密接な関係がある。球面調和関数は ℓ2 と ℓz の同時固有関数になっており、その固有値はそれぞれ ħ2ℓ(ℓ + 1), mħ である。すなわち ℓ 2 Y ℓ m = ℏ 2 ℓ ( ℓ + 1 ) Y ℓ m {\displaystyle {\boldsymbol {\ell }}^{2}Y_{\ell }^{m}=\hbar ^{2}\ell (\ell +1)Y_{\ell }^{m}} ℓ z Y ℓ m = m ℏ Y ℓ m {\displaystyle \ell _{z}Y_{\ell }^{m}=m\hbar Y_{\ell }^{m}} となる。また、上昇下降演算子 ℓ+, ℓ− を球面調和関数に作用させると ℓ + Y ℓ m = ℏ ( ℓ − m ) ( ℓ + m + 1 ) Y ℓ m + 1 {\displaystyle \ell _{+}Y_{\ell }^{m}=\hbar {\sqrt {(\ell -m)(\ell +m+1)}}\,Y_{\ell }^{m+1}} ℓ − Y ℓ m = ℏ ( ℓ + m ) ( ℓ − m + 1 ) Y ℓ m − 1 {\displaystyle \ell _{-}Y_{\ell }^{m}=\hbar {\sqrt {(\ell +m)(\ell -m+1)}}\,Y_{\ell }^{m-1}} ℓ + Y ℓ ℓ = 0 , ℓ − Y ℓ − ℓ = 0 {\displaystyle \ell _{+}Y_{\ell }^{\ell }=0,\quad \ell _{-}Y_{\ell }^{-\ell }=0} となる。

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