量子力学ではとは？ わかりやすく解説

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/02/18 05:31 UTC 版)

「フビニ・スタディ計量」の記事における「量子力学では」の解説

量子力学では、フビニ・スタディ計量は、ビューレス計量（英語版）(Bures metric)としても知られている。しかしながら、ビューレス計量は、典型的には混合状態の記法の中で定義される。一方、以下に示すことは純粋状態の項で記述されている。計量の実部は、フィッシャー情報計量（英語版）(Fisher information metric)（の 4倍）である。 フビニ・スタディ計量は、量子力学で共通して使われているブラとケットの記法（英語版）(bra–ket notation)を使い書くこともできるし、代数幾何学の射影多様体の記法を使っても書くことができる。これら 2つのことばが明らかに同じであることを示すために、 | ψ ⟩ = ∑ k = 0 n Z k | e k ⟩ = [ Z 0 : Z 1 : … : Z n ] {\displaystyle \vert \psi \rangle =\sum _{k=0}^{n}Z_{k}\vert e_{k}\rangle =[Z_{0}:Z_{1}:\ldots :Z_{n}]} とする。ここに、 { | e k ⟩ } {\displaystyle \{\vert e_{k}\rangle \}} はヒルベルト空間の直交基底ベクトルの集合であり、 Z k {\displaystyle Z_{k}} は複素数で、 Z α = [ Z 0 : Z 1 : … : Z n ] {\displaystyle Z_{\alpha }=[Z_{0}:Z_{1}:\ldots :Z_{n}]} は斉次座標（英語版）(homogenous coordinates)での射影空間 C P n {\displaystyle \mathbb {C} P^{n}} の標準的記法である。すると、2つの点 | ψ ⟩ = Z α {\displaystyle \vert \psi \rangle =Z_{\alpha }} and | ϕ ⟩ = W α {\displaystyle \vert \phi \rangle =W_{\alpha }} が空間内に与えられると、これらの間の距離は、 γ ( ψ , ϕ ) = arccos ⁡ ⟨ ψ | ϕ ⟩ ⟨ ϕ | ψ ⟩ ⟨ ψ | ψ ⟩ ⟨ ϕ | ϕ ⟩ {\displaystyle \gamma (\psi ,\phi )=\arccos {\sqrt {\frac {\langle \psi \vert \phi \rangle \;\langle \phi \vert \psi \rangle }{\langle \psi \vert \psi \rangle \;\langle \phi \vert \phi \rangle }}}} あるいは、同じことであるが射影多様体の記法では、 γ ( ψ , ϕ ) = γ ( Z , W ) = arccos ⁡ Z α W ¯ α W β Z ¯ β Z α Z ¯ α W β W ¯ β . {\displaystyle \gamma (\psi ,\phi )=\gamma (Z,W)=\arccos {\sqrt {\frac {Z_{\alpha }{\overline {W}}^{\alpha }\;W_{\beta }{\overline {Z}}^{\beta }}{Z_{\alpha }{\overline {Z}}^{\alpha }\;W_{\beta }{\overline {W}}^{\beta }}}}.} である。 ここに、 Z ¯ α {\displaystyle {\overline {Z}}^{\alpha }} は Z α {\displaystyle Z_{\alpha }} の複素共役である。分母に ⟨ ψ | ψ ⟩ {\displaystyle \langle \psi \vert \psi \rangle } が現れたことは、 | ψ ⟩ {\displaystyle \vert \psi \rangle } と、同様に | ϕ ⟩ {\displaystyle \vert \phi \rangle } が単位長へ正規化されていないので正規化するためである。このように、正規化は明確になされる。ヒルベルト空間では、計量は 1つのベクトルの間の角度として、むしろ容易に解釈することができる。これが量子角度(quantum angle)と呼ばれるものである。角度は実数値で 0 から π / 2 {\displaystyle \pi /2} まで変化することができる。 この計量の無限小形式は、 ϕ = ψ + δ ψ {\displaystyle \phi =\psi +\delta \psi } 、あるいは同じことであるが、 W α = Z α + d Z α {\displaystyle W_{\alpha }=Z_{\alpha }+dZ_{\alpha }} を取ることにより、直ちになされ、 d s 2 = ⟨ δ ψ | δ ψ ⟩ ⟨ ψ | ψ ⟩ − ⟨ δ ψ | ψ ⟩ ⟨ ψ | δ ψ ⟩ ⟨ ψ | ψ ⟩ 2 . {\displaystyle ds^{2}={\frac {\langle \delta \psi \vert \delta \psi \rangle }{\langle \psi \vert \psi \rangle }}-{\frac {\langle \delta \psi \vert \psi \rangle \;\langle \psi \vert \delta \psi \rangle }{{\langle \psi \vert \psi \rangle }^{2}}}.} を得る。 量子力学の脈絡では、CP1 のことをブロッホ球と呼ぶ。フビニ・スタディ計量は、量子力学の幾何学化への自然な計量である。量子エンタングルメントやベリー位相などの量子力学での特別な振る舞いの多くは、フビニ・スタディ計量の特別性に帰着することができる。

※この「量子力学では」の解説は、「フビニ・スタディ計量」の解説の一部です。
「量子力学では」を含む「フビニ・スタディ計量」の記事については、「フビニ・スタディ計量」の概要を参照ください。