1234
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1234（千二百三十四、一二三四、せんにひゃくさんじゅうよん）は、自然数また整数において、1233の次の数で1235の前の数である。
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1!2!3!4!
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『1!2!3!4!』は、グループ魂6枚目のオリジナルアルバム。
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1+2+3+4+…
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/09/21 09:50 UTC 版)
自然数すべての総和 1 + 2 + 3 + 4 + … は、その n-次の部分和
三角数の最初の六項 詳細は「三角数」を参照級数 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … の部分和は順に 1, 3, 6, 10, 15, … と続き、第 n 部分和は簡単な公式
ラマヌジャンの最初のノート。級数に対する「定数」を書いた一節。 ラマヌジャンは彼のノートブックの8章において "1 + 2 + 3 + 4 + … = −1/12" の導出を二種類の方法で与えている[8][9][10]。厳密さをさておいて簡単に述べれば以下のようなことになる。
考察の第一の鍵は、正項級数 1 + 2 + 3 + 4 + … が交項級数 1 − 2 + 3 − 4 + … にきわめてよく似ていることである。後者の級数もまた発散するのであるが、扱いは極めて容易で、これに値を割り当てる古典的な総和法がいくつか存在し、それは18世紀にはすでに発見されていた[11]。
さて級数 1 + 2 + 3 + 4 + … を級数 1 − 2 + 3 − 4 + … に変形するのに、第二項から 4 を引き、第四項から 8 を引き、第六項から 12 を引き……、という具合にやって行けば、引かれる総量は 4 + 8 + 12 + 16 + … でこれはもとの級数の 4 倍である。これを少し代数学的に書いてみよう。この級数の「和」となるべきものがあるとしてそれを c = 1 + 2 + 3 + 4 + … と呼ぶことにすると、これを 4 倍してもとの式から引けば
リーマンゼータ ζ(s) のグラフ。s > 1 で級数は収束し ζ(s) > 1 であることがわかる。極 s = 1 の周りでの解析接続によって負の領域まで延長すれば ζ(−1) = −1/12 などの場合も含まれる。 ゼータ関数正規化 (zeta function regularization) において、級数
テレンス・タオは級数の平滑化によって −1/12 が得られることを指摘している。平滑化はゼータ関数正規化（複素解析を背景とする）とラマヌジャン総和法（オイラー＝マクローリンの公式の便法）とを概念的に橋渡しするものである。これは、保守的な級数変化法を直接操作する代わりに、実解析の方法論を用いるのである。
この考えは、素性の悪い (ill-behaved) 離散的級数 
