埋め込み (数学) 距離空間

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/10 07:31 UTC 版)

距離空間

距離空間の間の写像 ${\displaystyle \phi :X\to Y}$ が（distortion ${\displaystyle C>0}$ の）埋め込みとは、

${\displaystyle Ld_{X}(x,y)\leq d_{Y}(\phi (x),\phi (y))\leq CLd_{X}(x,y)}$

がある定数 ${\displaystyle L>0}$ に対して成り立つことをいう。

ノルム空間

重要な特別な場合はノルム空間の場合である。この場合線型埋め込みを考えるのが自然である。

有限次元ノルム空間 ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ について問うことのできる基本的な問題の1つは、ヒルベルト空間 ${\displaystyle \ell _{2}^{k}}$ を定数 distortion で X に線型に埋め込めるような最大の次元 k は何か？である。

答えはドヴォレツキーの定理（英語版）によって与えられる。