微分作用素 記法

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/02/16 13:52 UTC 版)

記法

最もよくある微分作用素は、微分をとる操作。変数 x について一階微分をとる作用素のよくある記法として

${\displaystyle {d \over dx},\quad D,\quad D_{x},\quad \partial _{x}}$

などが挙げられる。より高次の、n-階微分をとる作用素は

${\displaystyle {d^{n} \over dx^{n}},\quad D^{n},\quad D_{x}^{n}}$

などで書かれる。変数 x の函数 f の微分を

${\displaystyle [f(x)]'\quad f'(x)}$

などで表すこともある。 記号 D を使うことは、ヘヴィサイドにより始められ、彼は微分方程式の研究の中で

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}c_{k}D^{k}}$

の形の微分作用素を考えた。最も良く見かける微分作用素のひとつに、

${\displaystyle \Delta =\nabla ^{2}=\sum _{k=1}^{n}{\partial ^{2} \over \partial x_{k}^{2}}}$

で定義されるラプラス作用素がある。他の微分作用素として、オイラー作用素ϑ^[1] は

${\displaystyle \vartheta =z{d \over dz}}$

で定義される。この作用素の固有函数は z の単項式

${\displaystyle \vartheta (z^{k})=kz^{k},\quad (k=0,1,2,\ldots )}$

であり、homogeneity operator とも呼ばれる。n-変数のテータ作用素は、

${\displaystyle \Theta =\sum _{k=1}^{n}x_{k}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}}$

により与えられる。一変数と同様に、Θ の固有空間は、斉次多項式全体の成す空間である。

よくある数学の記法に従えば、微分作用素の引数は作用素自身の右側に書くのが通常であるが、別の記法を用いることもある。作用素を作用素の左側にある函数、作用素の右側にある函数に施した結果や、両側に施した結果の差を、以下のような矢印で記す:

${\displaystyle f{\overleftarrow {\partial _{x}}}g=g\cdot \partial _{x}f}$

${\displaystyle f{\overrightarrow {\partial _{x}}}g=f\cdot \partial _{x}g}$

${\displaystyle f{\overleftrightarrow {\partial _{x}}}g=f\cdot \partial _{x}g-g\cdot \partial _{x}f.}$

そのような、双方向の矢印記法は、量子力学の確率流束（英語版）を記述することによく使われる。