有理関数 不定積分

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/07/06 17:09 UTC 版)

不定積分

実係数の一変数有理関数

${\displaystyle f(x)={\frac {P(x)}{Q(x)}}}$

が与えられたとき、分母 Q(x) の最高次係数が 1 で k 個の相異なる実根 r₁, …, r_k をもつならば、既約多項式の積

${\displaystyle Q(x)=(x-r_{1})^{m_{1}}\dotsm (x-r_{k})^{m_{k}}(x^{2}+s_{1}x+t_{1})^{n_{1}}\dotsm (x^{2}+s_{l}+t_{l})^{n_{l}}}$

に分解できる。このとき有理関数 f(x) は以下の形をした関数を用いて表せる（部分分数分解）。

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{0}(x)&=x^{u}&&(u\geq 0)\\f_{1}(x)&={\frac {1}{x-r}}&&\\f_{2}(x)&={\frac {1}{(x-r)^{v}}}&&(v>1)\\f_{3}(x)&={\frac {1}{x^{2}+a^{2}}}&&(a\neq 0)\\f_{4}(x)&={\frac {1}{(x^{2}+a^{2})^{w}}}&&(w>1,\ a\neq 0)\\f_{5}(x)&={\frac {x}{x^{2}+a^{2}}}&&(a\neq 0)\\f_{6}(x)&={\frac {x}{(x^{2}+a^{2})^{w}}}&&(w>1,\ a\neq 0)\end{aligned}}}$

したがって有理関数 f(x) の不定積分は f_i(x) の不定積分 F_i(x) を用いて表せる。

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{0}(x)&={\frac {1}{u+1}}x^{u+1}\\F_{1}(x)&=\log |x-r|\\F_{2}(x)&={\frac {-1}{v-1}}{\frac {1}{(x-r)^{v-1}}}\\F_{3}(x)&={\frac {1}{a}}\arctan {\frac {x}{a}}\\F_{4}(x)&={\frac {1}{2a^{2}}}{\bigg (}{\frac {1}{w-1}}{\frac {x}{(x^{2}+a^{2})^{w-1}}}+{\frac {2w-3}{w-1}}\int {\frac {dx}{(x^{2}+a^{2})^{w-1}}}{\bigg )}\\F_{5}(x)&={\frac {1}{2}}\log(x^{2}+a^{2})\\F_{6}(x)&={\frac {-1}{2(w-1)}}{\frac {1}{(x^{2}+a^{2})^{w-1}}}\end{aligned}}}$

特に有理関数の不定積分は有理関数を用いて表せるとは限らないが、有理関数に加えて対数関数 log と逆正接関数 arctan を用いれば必ず表せる。

一方で複素係数の一変数有理関数が与えられたとき、その不定積分は有理関数と対数関数さえ用いれば必ず表せるので、より簡明である。（対数関数は多価関数で偏角に由来する不定性があるが、不定積分では積分定数への影響しかない。）