集合の代数学 補集合の追加規則

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/24 05:42 UTC 版)

補集合の追加規則

次の命題は補集合に関する集合の代数学の5つの規則を示している。

命題 4: A と B が普遍集合 U の部分集合であるとき、以下が成り立つ。

ド・モルガンの規則:

• ${\displaystyle (A\cup B)^{\mathrm {C} }=A^{\mathrm {C} }\cap B^{\mathrm {C} }}$
• ${\displaystyle (A\cap B)^{\mathrm {C} }=A^{\mathrm {C} }\cup B^{\mathrm {C} }}$

二重補集合または対合法則:

• ${\displaystyle A^{\mathrm {CC} }=A}$

普遍集合と空集合の補集合の規則:

• ${\displaystyle \varnothing ^{\mathrm {C} }=U}$
• ${\displaystyle U^{\mathrm {C} }=\varnothing }$

二重補集合の規則は自己双対であることに注意。

次の命題も自己双対であり、補集合の規則を満たす集合は補集合しかないことを示している。換言すれば相補性は補集合の規則で特徴付けられる。

命題 5: A と B が普遍集合 U の部分集合であるとき、以下が成り立つ。

補集合の普遍性:

• ${\displaystyle A\cup B=U}$ で、かつ ${\displaystyle A\cap B=\varnothing }$ なら、${\displaystyle B=A^{\mathrm {C} }}$ が成り立つ。