0.999... 0.999...の概要

実数として "0.999…" と"1"は等しくなることを示すことができる（ただし、0.9999など途中で終了する小数は1と等しいと言えない）。この証明は、実数論の展開・背景にある仮定・歴史的文脈・対象となる聞き手などに応じて、多様な数学的厳密性に基づいた定式化がある^{[注釈 1]}。

循環する無限小数一般に言えることだが、0.999… の末尾の … は省略記号であり、続く桁も 9 であることを示す。省略記号の前の 9 の個数はいくつでもよく、0.99999… のように書いてもよい。あるいは循環節を明確にするために 0..9、0.9、0.(9) などと表記される。

一般に、ある数を無限小数で表すことも有限小数で表すこともできる。本稿で示されるように 0.999… と 1 は等価性であるから、例えば 8.32 は 8.31999… と書いても同じ数を表す。十進数を例に採ったが、数が一意に表示されないことは別の底の位取り記数法でも生じ、また小数表示以外でも同様に起こり得る。

0.999… と 1 の等価性は、実数の体系（これは解析学では最も一般的に用いられる体系である）に 0 でない無限小が存在しないことと深く関係している。一方、超実数の体系のように 0 でない無限小を含む別の数体系もある。そのような体系の大半は、標準的な解釈の下で式 0.999… の値は 1 に等しくなるが、一部の体系においては記号 "0.999…" に別の解釈を与えて 1 よりも無限小だけ小さいようにすることができる。

算数・数学教育において、0.999… = 1 という関係（または類似の関係）が正しいことを教えることは一つの課題となっている。個別には例えば、1 のような簡単な数に対しても別の表示方法（この場合、0.999…）があることや、0.999… が数列の極限の簡便な記法であること、極限の値は必ずしも元の数列に含まれないこと、また極限という概念そのものの理解が難しいことなどが挙げられる。

0.999… という実数を明確にとらえるには、やはり小数点以下の位がすべて 9 であることを利用する。位取り記数法で表された有限小数における"位ごとの四則演算"が無限小数に対しても適用できる、と見なすと、0.999… = 1 を初等的に導くことができる。

1/3 を小数表示すると、小数点以下の位は全て 3 であることを利用する。1/3 は 1 ÷ 3 の商であり、割り算の筆算により、循環小数 0.333… となる。ここで 3 は無限に続く。この小数点以下の各位は 3 倍するといずれも 9 となることから、有限小数のときと同様に各位への一斉な掛け算が可能とみなせば、無限小数 0.333… を 3 倍すると0.999… に等しい。一方、1/3 × 3 = 1 である。従って 0.999… = 1 である^{[注釈 2]}。同様な別証明として、1/9 = 0.111… の両辺に 9 を掛けることでもできる。

${\displaystyle {\begin{aligned}0.333\dots &={\frac {1}{3}}\\3\times 0.333\dots &=3\times {\frac {1}{3}}\\\therefore 0.999\dots &=1\end{aligned}}}$

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以上の2つの証明で用いた、無数の桁に対する位ごとの操作（つまり、掛け算や引き算）を一斉に行う（つまり…の部分に行う）ことは、厳密性に欠け、その正当性が明らかではない。有限小数に関しては、この過程は実数の計算法則にのみ依存している。この操作が無限小数にも適用できることを証明するためには、次節 #解析的な証明 に述べる実解析の手法を必要とする。

日本の数学教育においては、高校数学の数学Iで循環小数の足し算・引き算・10倍が公理として採用されているため、上記の代数的な操作は高校数学の範囲内では正しい証明とされる。

解析的な証明

0.999… という小数点以下の位に無数の 9 を加えていくという定義自体が解析的である。これが 1 に等しいことを厳密に証明するには、実解析の手法を必要とする。0.999… という無限小数を正確にとらえるには、小数部分の位が無数に並ぶことを明確に定義し直すことが必要となる。

差に着目した証明

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0.999… が 1 に等しいことを証明するには、それらの差が 0 であることを証明すればよい。その分、無数に並ぶ 9 についての定義はぼやけるが、初等的かつ解析的に導くことができる。

（証明）

${\displaystyle {\begin{aligned}1-0.999\cdots &=\lim _{n\to \infty }1-0.\underbrace {99\cdots 9} _{n}\\&=\lim _{n\to \infty }1-(1-0.\underbrace {00\cdots 1} _{n})\\&=\lim _{n\to \infty }0.\underbrace {00\cdots 1} _{n}\\&=\lim _{n\to \infty }\left\{\left({\frac {1}{10}}\right)^{n}\right\}\\&=0\qquad \qquad \end{aligned}}}$

等比級数の公式自体はオイラー以前の成果であるが、18世紀まではその導出がいずれも項別演算を証明なしで行われていた。1811年になってやっと、Bonnycastle の教科書 An Introduction to Algebra で等比級数に関する議論を行うことで 0.999… に関する項別操作を正当化している^[4]。

19世紀には、それまでの自由すぎる無限和の計算に対する反動として、「級数はその部分和の極限として定義される」という、現在の数学でも用いられている定義が生み出された。このころの証明に基づいた微積分学や解析学の入門書においては、関連する定理を証明することによりこの等比級数もはっきりと計算されている^[5]。

数列 {x_n} において、番号 n を限りなく進ませると距離 |x_n − x| が 0 に近づくときに、数列 {x_n} の極限が x であると定義される。等式 0.999… = 1 自身は以下のように極限として表すことにより証明される。

${\displaystyle 0.999\cdots =\lim _{n\to \infty }0.\underbrace {99\cdots 9} _{n}=\lim _{n\to \infty }\textstyle \sum \limits _{k=1}^{n}\displaystyle {\frac {9}{10^{k}}}=\lim _{n\to \infty }\left(1-{\frac {1}{10^{n}}}\right)=1-\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{10^{n}}}=1}$

無限小数の小数部分を級数として直接計算する前述の導出に対して、それとは別に、もう一つの方法は、無限小数が取らない値の範囲を排除していくという方法である。

実数 x は閉区間 [0, 10]（すなわち 0 以上 10 以下）に属するとし、この区間 [0, 10] を一の位ごとの 10 個の区間 [0, 1], [1, 2], [2, 3], …, [9, 10] に分割（端点のみで重なる）する。実数 x はこのうちの少なくとも1つに属し、その区間の下限、例えば x が区間 [1, 2] に属するときには "1" を記録する。次に、属している区間 [1, 2] を小数第一位ごとに [1, 1.1], [1.1, 1.2], …, [1.8, 1.9], [1.9, 2] に分割し、x が属する区間の下限を記録する、という操作を繰り返すと a₀, a₁, a₂, a₃, … から決まる区間の減少列が生み出される。この数列から

${\displaystyle x=a_{0}.a_{1}a_{2}a_{3}\cdots }$

p進数は整数論が研究対象とする数体系である。実数と全く同様に、p進数はコーシー列を経由して有理数の完備化として作ることができる。ただしこの構成には、0 は 1 よりも p に近く、pⁿ にはもっと近いという、（実数の構成のときとは）異なる距離を用いる。p進数は p が素数のとき体をなし、p が素数でないとき（10 はこの場合である）でも環をなす。したがって、p進数に足し算や掛け算のような計算を実行することができ、無限小は存在しない。

p進数には小数展開の類似を考えることができ、位が左へ進む（実数の小数展開とは逆に、右へは有限桁しか進めない）。10進展開 …999 を考える。一の位に 1 を加えることができるが、すると 0 だけが残されて繰り上がりが続き、その結果 1 + …999 = …000 = 0 となる。すなわち、…999 = −1 である^[28]。もう一つの導出方法は等比級数を用いる。"…999" の意味をもつ等比級数は実数においては収束しないが、10進数では収束し、よく知られた公式を再び用いることができて

${\displaystyle \cdots 999=9+9\cdot 10+9\cdot 10^{2}+9\cdot 10^{3}+\dotsb ={\frac {9}{1-10}}=-1}$

「巡回数」も参照

実解析では、三進法での類似表現 0.222… = 1 は最も単純なフラクタルの一つ、カントール三進集合 (the middle-thirds Cantor set) の特徴づけに重要な役割を果たしている。

• 単位区間 [0, 1] の点は、三進法で 0 と 2 のみを用いて表現される場合に限りカントール集合に属するという。

小数第 n 位の数字は、この構成における第 n 段階の点の位置に反映する。例えば、点 2/3 は通常の 0.2 または 0.2000… として表現される。なぜなら、それは最初の欠損部分の右側に位置し、それ以後のすべての欠損部分の左に位置するからである。また、点 1/3 は 0.1 ではなく 0.0222… として表現される。なぜなら、それは最初の欠損部分の左側に位置し、それ以後のすべての欠損部分の右側に位置するからである^[39]。

9 の繰り返しはカントールのもう一つの仕事にさえも現れる。彼が1891年に対角線論法を適用して単位区間 [0, 1] の非可算性の適切な証明を与えたことを考慮しなければならない。このような証明ではある2つの実数が小数表現において異なることを言明することが必要とされる。したがって、0.2 と 0.1999… のような組を避けなければならない。簡単な方法においては、すべての数を無限小数で表すが、それに対する方法では 9 が最後に連続することを排斥する^{[注釈 8]}。カントール独自の議論に近いといえる証明の変形では実際に2進表現を用いており、3進表現を2進表現に変えることによりカントール集合の非可算性を同様に証明することができる^[40]。

典型的な誤解とその原因

数学の初学者はしばしば 0.999… と 1 が等しいことを理解できない。極限の概念や無限小の性質が日常の感覚と大きく異なっていることがその理由とされる。その共通の要因として次のようなものがある。

• 生徒は「十進数では、一つの数はただ一通りの小数で表すことができるはずだ」と思い込んでいる場合が多い。表示が異なる2つの小数が等しいことが分かると、それが逆説であるように見える。見かけ上よく知られた数 1 の登場でその感がさらに強くなる^[41]。
• "0.999…"（または同様の表現）を、多いけれども有限の個数の "9" の列（おそらく可変であり特定できない長さ）として解釈する生徒もいる。たとえ生徒が "9" の無限個の列であることを受け入れたとしても、まだ最後の "9" が「無限の彼方に」あると期待しているのかもしれない^[42]。
• 直観やあいまいな教え方により、生徒は数列の極限を、一つの決まった値ではなくある種の無限操作と考えるようになる。それは数列の各項はその極限に達する必要はないからである。生徒が数列とその極限の違いを受け入れても、彼らは "0.999…" を極限ではなく数列を意味するものと読む可能性がある^[43]。

これらの考えは、通常の実数を扱う文脈においては誤っている。しかしながら、通常と異なる場面で適用するために発明された、もしくは、0.999… を理解するのに有益な反例としての、より精巧な数の体系構造においては、それらの考えの多くが部分的に正しいことが示される。

これらの要因の多くはデイヴィッド・トール (David Tall) 教授により発見された。教授は、自らが遭遇した大学生の誤解のいくつかについて、それを生徒に抱かせる原因となった指導法と認識の特徴を研究している。非常に多くの生徒がなぜ最初はこの等式を受け入れないのかを調べるために生徒を面接して、次のようなことを発見した^[44]。

「生徒は 0.999… を、決まった値ではなく 1 に限りなく近づく数列として理解し続けようとする。その原因は『先生は小数点以下の桁数がいくつあるかをはっきりと教えていなかった』という指導法の欠陥、または『0.999… は 1 より小さい数の中で、存在しうる、1 に最も近い小数である』という認識である。」

初等的な証明の中で 0.333… = 1/3 の両辺を 3倍する方法は、0.999… = 1 であることを容認できない生徒に受け入れさせるための、最も有効な手段であるかのように見える。しかしながら、第1の等式を信じることと、第2の等式を信じないことの矛盾に直面すると、今度は第1の等式を疑い始める者も現れるし（後述も参照）、または単に不満を抱くだけの生徒もいる^[45]。これより簡潔で有効な説明方法もなかなかない。厳密な定義を十分適用する能力のある生徒が、0.999… を含めてさらに進んだ数学の結果に驚いたとしても、なお直観的な想像に頼ってしまうことがある。例えば、ある解析学を学ぶ生徒は 0.333… = 1/3 であることを上限の定義を用いて証明することができるが、その後もなお、昔の筆算の理解に基づいて 0.999… < 1 であると主張した^[46]。別の生徒は、1/3 = 0.333… であることを証明することができるが、分数による証明に直面して「論理」が数学の計算を征服していると主張する。

ジョセフ・メイザー (Joseph Mazur) は別の才能豊かな微積分学の生徒について語る。その生徒は「私が授業で言ったことにはほとんどすべて異議を唱えるが、自分の使っている計算機には決して異議を唱えない」。さらに、23 の平方根を計算することも含めて、数学をするのに必要なのは 9桁（程度）だと信じるようになった。その生徒は 9.999… = 10 であるという極限の議論に相変わらず不愉快な感じを抱いていたが、それは「乱暴な推測をする、無限概念の成長過程 (wildly imagined infinite growing process)」と呼ばれる^[47]。

エド・デュビンスキー (Ed Dubinsky) による数学学習の理論 (APOS theory) の一部分として、デュビンスキーとその共同研究者 (2005) は、0.999… を「1 から無限に小さい距離だけ離れている数を表す有限で不確定の文字列」であると思う生徒は「無限小数の構成過程の完全な概念がまだ形成されていない」と述べた。たとえ 0.999… の構成過程の完全な概念を身につけた生徒であっても、まだその過程を（すでに持っている "1" の概念と同様の）一つの「対象」としてとらえ直すことができずに、0.999… という一つの過程と 1 という数の存在を矛盾するものととらえるかもしれない。デュビンスキーらはまた、「一つの対象としてとらえ直す」というこの精神的能力が、1/3 それ自体を数と見なしたり、自然数の集合それ自身を一つの対象として取り扱ったりすることと関係していると考えている^[48]。

メディアでの議論

インターネットの登場に伴い、0.999… = 1 に関する論争は教育現場だけでなく、ニュースグループや電子掲示板など、普段はあまり数学に関係のない場所でも話題となることがある。ニュースグループ sci.math では、0.999… に関する議論は「流行のスポーツ」であり、それは FAQ で回答された問題の一つである^[49]。その FAQ は 1/3 を用いる方法、10倍する方法、極限を用いる方法を簡潔に扱い、さらには同様にコーシー列にも言及している。

アメリカの新聞 Chicago Reader のコラム The Straight Dope の2003年版では、誤った概念に関して言及しつつ、1/3 や極限を通して 0.999… について次のように議論している。

「我々の中の類人猿的要素が、『0.999… は実際に数 を表しているのではなく、過程 を表している。一つの数を見つけるために我々はその過程を途中で断ち切らなければならない。その時点において 0.999… = 1 という概念は崩壊する。』と言って依然として抵抗している。

ナンセンスだ！^[50]」

The Straight Dope は「他の掲示板…ほとんどがビデオゲーム」から独立した専用の掲示板で議論を載せている。同様の調子で、0.999… の問題は、アメリカのゲーム開発会社ブリザード・エンターテイメントの Battle.net フォーラムで最初の7年間にとても一般的な話題であることが分かったため、社長の Mike Morhaime は2004年4月1日の記者会見で 0.999… = 1 であると発表した。

「我々はこの問題に対しきっぱりと決着をつけることに大変興奮しています。我々は 0.999… が 1 に等しいのか等しくないのかについての、心痛や心配に立ち会ってきました。ここに次の証明を提示し、我々の顧客に対して、最終的に断固としてこの問題に対処できることを嬉しく思います^[51]。」

続くプレスリリースで、極限に基づくものと 10 を掛けるものの2つの証明を提供している。

関連する問題

• ゼノンのパラドックス、とりわけアキレウスと亀のパラドックスは、見かけ上のパラドックス 0.999… = 1 を連想させる。アキレウスのパラドックスは数学的にモデル化され、0.999… と同じように等比数列を用いて解決される。しかしながら、この数学的な取り扱いがゼノンが探求していた潜在的な形而上の問題に対処しているかどうかは明らかでない^[52]。ただし、無限和の値（ここでは有限小数の無限和としての無限小数）は、部分和の極限（限りなく近づいていくが、決して到達しない点）によって定義されているので、この方法では、パラドックスを解決したことにはならない、という論議がある（総和、循環小数、循環論法を参照）。この点に留意すれば、0.999… = 1 であると言う帰結は、極限によって無限小数の値を定義した結果であり、必ずしも自明なことではない（その意味では前述の「第1の等式を信じることと、第2の等式を信じないことの矛盾に直面すると、今度は第1の等式を疑い始める^[45]」という態度は、一定の数学的なセンスのある姿勢だと見ることもできる）。そもそも無限に存在する値を全て足し合わせることができるのか、と言う問いは未解決であり（現代数学では定義として処理されている。公理的集合論を参照）、0.999… = 1 やゼノンのパラドックスと言った話題がそのことを想起させてくれる恰好の題材であることは確かであろう。
• 0 による除算は 0.999… のいくつかの一般的な議論に見られるが、それもまた論争を引き起こす。多くの著者が 0.999… を定義することを選択する一方で、実数の現代的な取り扱いでは 0 による除算は定義されない。というのは、それが通常の実数の範囲では意味を与えられないからである。しかしながら、0 による除算は複素解析など他の体系では定義されている。複素解析では、拡張された複素平面（リーマン球面）は無限遠点をもつ。ここで、1/0 を無限大であると定義することには意味がある^[53]。また、実際その結果は奥深く、工学や物理学にも応用できる。何人かの著名な数学者は、どの数体系も発達するずっと前からそのような定義を論じていた^[54]。
• 冗長な数表記の類例として負の 0 が挙げられる。実数などの数体系においては、"0" は加法に関する単位元を意味し、正の数でも負の数でもない。通常 "−0" は加法に関する 0 の逆元を表すと解釈されるため、−0 = 0 でなければならない^[55]。それにもかかわらず、いくつかの科学的な応用では、正と負の 0 を分けて用いる^[56]。これはいくつかのコンピュータの数体系（例えば符号付数値表現、1 の補数表現、IEEE 754 で定義されたような浮動小数点表示）でもそうである^[57]。IEEE の浮動小数点数の場合は、負の 0 は、与えられた正確な数値を表すには（絶対値が）小さすぎるが、それでもなお負の数である値を表している。したがって、IEEE 浮動点数表示における「負の 0」は本来の意味で"負の 0" ではない。

「2進法#機器での負の数の扱い」および「補数」を参照

脚注

[脚注の使い方]

注釈

1. ^ 例えば、最初の節 #代数的な証明 に挙げる「代数的証明」は「正しい」証明だが、その証明の正当性は後の節 #解析的な証明 に記す解析学的手法である極限の概念によって保証される。同様にそれら解析学的証明を「正しい」証明たらしめているのは実数の特質に他ならない。しかし普通は、実数の公理にまでいちいち遡らずにいくつかの性質を「認めて」、そこで切り上げるのである。もちろん実数の代替となる体系において、実数と異なる性質に基づけば、それら「証明」はそのどこかが崩され、「間違った」証明となり得る。
2. ^ ^{a b} cf. 同様な議論の二進法版も以下にある。Silvanus P. Thompson, Calculus made easy, St. Martin's Press, New York, 1998. ISBN 0-312-18548-0.
3. ^ 統合の歴史的な過程は以下を参照：Griffiths and Hilton (p.xiv) in 1970。また、再び Pugh (p.10) in 2001。両方とも実際には公理的解析論よりもデデキント切断を好んでいる。切断の方法の教科書については以下を参照：Pugh p.17 or Rudin p.17. 論理的視点については Pugh p.10, Rudin p.ix, or Munkres p.30
4. ^ Enderton (p.113) は以下の記述を与えている。『デデキント切断の背景にあるアイディアは、有理数、つまり x より小さいすべての有理数の無限集合を与えられることによって実数 x が名づけられるということである。循環論法を避けるため、この方法で得られる有理数の集合が特徴づけられなければならない。』
5. ^ 超準的な数の完全な取り扱いはロビンソンの Non-standard Analysis を参照。
6. ^ Berlekamp, Conway, and Guy (pp.79-80, 307-311) は 1 と 1/3 について議論しており、さらに 1/ω について触れている。0.111… のゲームはバールカンプのルールに直接に従っており、それは以下に述べられている。A. N. Walker (1999年). “Hackenstrings and the 0.999⋯ =1 FAQ”. 2006年6月16日時点のオリジナルよりアーカイブ。2006年6月29日閲覧。
7. ^ Richman pp.398-400. Rudin (p.23) は第1章の最後の練習問題として、この代替構造（ただし実数上）を選んでいる。
8. ^ Maor (p.60) および Mankiewicz (p.151) は前者の方法を振り返る。Mankiewicz はそれがカントールの仕事だとしているが、最初の出所は定かではない。Munkres (p.50) は後者の方法に言及している。

出典

1. ^ 佐藤得志「実数のN 進小数展開の具体的表示について」『宮城教育大学紀要』第53巻、2019年1月31日、149-158頁。  p.150 より
2. ^ Rudin p.61, Theorem 3.26; J. Stewart p.706
3. ^ Euler p.170
4. ^ Grattan-Guinness p.69; Bonnycastle p.177
5. ^ 例えば、J. Stewart p.706, Rudin p.61, Protter and Morrey p.213, Pugh p.180, J.B. Conway p.31
6. ^ この極限については例えば以下に従う： Rudin p.57, Theorem 3.20e。より直接的なアプローチについては、以下も参照：Finney, Weir, Giordano (2001) Thomas' Calculus: Early Transcendentals 10ed, Addison-Wesley, New York. Section 8.1, example 2(a), example 6(b).
7. ^ Davies p.175; Smith and Harrington p.115
8. ^ Beals p.22; I. Stewart p.34
9. ^ Bartle and Sherbert pp.60-62; Pedrick p.29; Sohrab p.46
10. ^ Apostol pp.9, 11-12; Beals p.22; Rosenlicht p.27
11. ^ Apostol p.12
12. ^ Rudin pp.17-20, Richman p.399, or Enderton p.119。正確には、この3人はこの切断をそれぞれ 1^*, 1⁻, 1_R と呼んでいる。3人ともそれを伝統的な 1 の定義と同一視している。Rudin と Enderton が『デデキント切断』と呼ぶものを Richman は『nonprincipal なデデキント切断』と呼ぶことに注意。
13. ^ Richman p.399
14. ^ ^{a b} J J O'Connor and E F Robertson (2005年10月). “History topic: The real numbers: Stevin to Hilbert”. MacTutor History of Mathematics. 2006年8月30日閲覧。
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39. ^ Pugh p.97; Alligood, Sauer, and Yorke pp.150-152。Protter と Morrey (p.507) および Pedrick (p.29) はこの記述を練習問題として位置づけている。
40. ^ Rudin p.50, Pugh p.98
41. ^ Bunch, p.119; Tall and Schwarzenberger, p.6. 最後の提案は Burrell (p.28) による。すなわち、「おそらくすべての数の中で最も安心する数は 1 であろう。したがって、0.999… を 1 として扱うときにとりわけ不安を覚える。」
42. ^ Tall and Schwarzenberger pp.6-7; Tall 2000 p.221
43. ^ Tall and Schwarzenberger p.6; Tall 2000 p.221
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参考文献

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  力学系に関するこの入門的な教科書は、学部生または初級の大学院生向けである (p.ix)。

• Apostol, Tom M. (1974). Mathematical analysis (2e ed.). Addison-Wesley. ISBN 0-201-00288-4 

  微積分学からより進んだ解析学 Mathematical analysis への変遷が「ごまかさないで、厳密で、最新であると同時に学者ぶることのないように」意図されている。（序文）Apostol は実数の構成に上限の存在公理を用いており、無限小数が2ページ後で紹介されている (pp.9-11)。

• Bartle, R.G. and D.R. Sherbert (1982). Introduction to real analysis. Wiley. ISBN 0-471-05944-7 

  このテキストは「実解析の基本的性質と技巧を扱う、理解しやすくてほどよい進度の教科書」を目指している。実数の構成には上限の存在公理を用いている。(pp.vii-viii)

• Beals, Richard (2004). Analysis. Cambridge UP. ISBN 0-521-60047-2 
• Berlekamp, E.R.; J.H. Conway; and R.K. Guy (1982). Winning Ways for your Mathematical Plays. Academic Press. ISBN 0-12-091101-9 
• Berz, Martin (1992). “Automatic differentiation as nonarchimedean analysis”. Computer Arithmetic and Enclosure Methods (Elsevier): 439-450. http://citeseer.ist.psu.edu/berz92automatic.html. 
• Bunch, Bryan H. (1982). Mathematical fallacies and paradoxes. Van Nostrand Reinhold. ISBN 0-442-24905-5 

  この本は、その中心的な話題「数学的な現実性と物理的な現実性のやや希薄な関係」を調べる道具として、パラドックスと誤った推論による解析を紹介している。高校1年生程度の代数を仮定しており、（第2章の等比数列を含めて）さらに進んだ数学はこの本の中で発展していく。0.999… は完全に扱われているものの一つではないが、カントールの対角線論法を扱う中で簡潔に述べられている (pp.ix-xi, 119)。

• Burrell, Brian (1998). Merriam-Webster's Guide to Everyday Math: A Home and Business Reference. Merriam-Webster. ISBN 0-87779-621-1 
• Conway, John B. (1978) [1973]. Functions of one complex variable I (2e ed.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-90328-3 

  このテキストは必修科目としての「基本的な微積分の厳密な課程」の役割を担っており、述べられているその原則は "An Introduction to Mathematics" として複素解析を紹介し、対象を明確に正確に述べることである (p.vii)。

• Davies, Charles (1846). The University Arithmetic: Embracing the Science of Numbers, and Their Numerous Applications. A.S. Barnes. https://books.google.co.jp/books?vid=LCCN02026287&pg=PA175&redir_esc=y&hl=ja 
• DeSua, Frank C. (1960-11). “A system isomorphic to the reals” (restricted access). The American Mathematical Monthly 67 (9): 900-903. http://links.jstor.org/sici?sici=0002-9890%28196011%2967%3A9%3C900%3AASITTR%3E2.0.CO%3B2-F. 
• Dubinsky, Ed, Kirk Weller, Michael McDonald, and Anne Brown (2005). “Some historical issues and paradoxes regarding the concept of infinity: an APOS analysis: part 2”. Educational Studies in Mathematics 60: 253-266. doi:10.1007/s10649-005-0473-0. 
• Edwards, Barbara and Michael Ward (2004-05). “Surprises from mathematics education research: Student (mis)use of mathematical definitions”. The American Mathematical Monthly 111 (5): 411-425. 
• Enderton, Herbert B. (1977). Elements of set theory. Elsevier. ISBN 0-12-238440-7 

  集合論の入門的な学部生用の教科書であり、「特別な予備知識を前提としない」。公理的集合論または数体系の構成に焦点をおいた学習課程を提供するために書かれているが、公理という題材は、あまり重要視されないような方法で扱われている (pp.xi-xii)。

• Euler, Leonhard (1822) [1770]. John Hewlett and Francis Horner, English translators.. ed. Elements of Algebra (3rd English edition ed.). Orme Longman. https://books.google.co.jp/books?id=X8yv0sj4_1YC&pg=PA170&redir_esc=y&hl=ja 
• Fjelstad, Paul (1995-01). “The repeating integer paradox” (restricted access). The College Mathematics Journal 26 (1): 11-15. doi:10.2307/2687285. http://links.jstor.org/sici?sici=0746-8342%28199501%2926%3A1%3C11%3ATRIP%3E2.0.CO%3B2-X. 
• Gardiner, Anthony (2003) [1982]. Understanding Infinity: The Mathematics of Infinite Processes. Dover. ISBN 0-486-42538-X 
• Gowers, Timothy (2002). Mathematics: A Very Short Introduction. Oxford UP. ISBN 0-19-285361-9 
• Grattan-Guinness, Ivor (1970). The development of the foundations of mathematical analysis from Euler to Riemann. MIT Press. ISBN 0-262-07034-0 
• Griffiths, H.B.; P.J. Hilton (1970). A Comprehensive Textbook of Classical Mathematics: A Contemporary Interpretation. London: Van Nostrand Reinhold. ISBN 0-442-02863-6.  (LCC QA37.2 G75)

  この本は、バーミンガム地方のグラマースクールの数学教師の課程から生まれたものである。この課程は、学校で教えられる数学を基にして大学レベルの数学への展望を伝えるのが目的であり、「大学で数学の専門課程を1年間学んだ程度のレベル」の生徒向けである。実数の構成は第24章で述べられているが、「おそらくこの本全体の中で最も難しい章」である。しかしながら著者たちはこの難しさをイデアル論を用いているためとしている。イデアル論はここでは扱われていない (pp.vii, xiv)。

• Kempner, A.J. (1936-12). “Anormal Systems of Numeration” (restricted access). The American Mathematical Monthly 43 (10): 610-617. http://links.jstor.org/sici?sici=0002-9890%28193612%2943%3A10%3C610%3AASON%3E2.0.CO%3B2-0. 
• Komornik, Vilmos; and Paola Loreti (1998). “Unique Developments in Non-Integer Bases” (restricted access). The American Mathematical Monthly 105 (7): 636-639. http://links.jstor.org/sici?sici=0002-9890%28199808%2F09%29105%3A7%3C636%3AUDINB%3E2.0.CO%3B2-G. 
• Leavitt, W.G. (1967). “A Theorem on Repeating Decimals” (restricted access). The American Mathematical Monthly 74 (6): 669-673. http://links.jstor.org/sici?sici=0002-9890%28196706%2F07%2974%3A6%3C669%3AATORD%3E2.0.CO%3B2-0. 
• Leavitt, W.G. (1984-09). “Repeating Decimals” (restricted access). The College Mathematics Journal 15 (4): 299-308. http://links.jstor.org/sici?sici=0746-8342%28198409%2915%3A4%3C299%3ARD%3E2.0.CO%3B2-D. 
• Lewittes, Joseph (2006年). “Midy's Theorem for Periodic Decimals”. New York Number Theory Workshop on Combinatorial and Additive Number Theory. arXiv. 2008年3月6日閲覧。
• Lightstone, A.H. (1972-03). “Infinitesimals” (restricted access). The American Mathematical Monthly 79 (3): 242-251. http://links.jstor.org/sici?sici=0002-9890%28197203%2979%3A3%3C242%3AI%3E2.0.CO%3B2-F. 
• Mankiewicz, Richard (2000). The story of mathematics. Cassell. ISBN 0-304-35473-2 

  Mankiewicz は、数学、数学者の著作、歴史的概略の視覚的な側面と質的な側面を組み合わせることによって「理解しやすい形式で数学の歴史」を述べようとしている (p.8)。

• Maor, Eli (1987). To infinity and beyond: a cultural history of the infinite. Birkhäuser. ISBN 3-7643-3325-1 

  年代順というより話題別の無限に関する回顧。この本は「一般的な読者を意図している」が「数学者の視点から語っている」。数学的な厳密性と読みやすい言葉遣いの板ばさみで、Maor は「この問題を正しく取り扱うことに成功したことを願っている」と述べている。(pp.x-xiii)

• Mazur, Joseph (2005). Euclid in the Rainforest: Discovering Universal Truths in Logic and Math. Pearson: Pi Press. ISBN 0-13-147994-6 
• Munkres, James R. (2000) [1975]. Topology (2e ed.). Prentice-Hall. ISBN 0-13-181629-2 

  形式的な予備知識を必要としないで「大学3-4年生または大学院の1年生レベル」における入門書を意図している。「読者が集合論についてよく知っていることを仮定すらしない。」(p.xi) Munkres の実数の扱いは公理的であり、この道具を持たない構成方法について彼は「このアプローチの方法は多くの時間と努力を必要とし、数学的な興味として扱うよりもはるかに論理的である。」と述べている。(p.30)

• Pedrick, George (1994). A First Course in Analysis. Springer. ISBN 0-387-94108-8 
• Petkovšek, Marko (1990-05). “Ambiguous Numbers are Dense” (restricted access). American Mathematical Monthly 97 (5): 408-411. http://links.jstor.org/sici?sici=0002-9890%28199005%2997%3A5%3C408%3AANAD%3E2.0.CO%3B2-Q. 
• Pinto, Márcia and David Tall (2001). “Following students' development in a traditional university analysis course”. PME25: v4: 57-64. http://www.warwick.ac.uk/staff/David.Tall/pdfs/dot2001j-pme25-pinto-tall.pdf. 
• Protter, M.H. and C.B. Morrey (1991). A first course in real analysis (2e ed.). Springer. ISBN 0-387-97437-7 

  この本は「微積分学の標準的な仮定を終えた生徒に適切な、解析学の理論的構成を紹介する」ことを目標とする (p.vii)。第2章の終わりで著者は、実数において有界単調列が収束するということを公理として仮定しているが、その後で区間縮小法と上限の存在を証明している (pp.56-64)。小数展開は Appendix 3 "Expansions of real numbers in any base" に見られる (pp.503-507)。

• Pugh, Charles Chapman (2001). Real mathematical analysis. Springer-Verlag. ISBN 0-387-95297-7 

  実数のよく知られた性質を仮定する一方で、Pugh はできるだけ早い段階で実数の切断を紹介する。公理的な取り扱いについて「実数の体系に基づいて実数が構成されていることを考えると、これは一つの詐欺である。」と述べている (p.10)。上限の存在の性質とそれに関係するいくつかの事実を証明した後は、その他の場面で切断は用いられていない。

• Richman, Fred (1999-12). “Is 0.999... = 1?” (restricted access). Mathematics Magazine 72 (5): 396-400. http://links.jstor.org/sici?sici=0025-570X%28199912%2972%3A5%3C396%3AI0.%3D1%3E2.0.CO%3B2-F.  Free HTML preprint: Richman, Fred (1999年6月8日). “Is 0.999... = 1?”. 2006年2月3日時点のオリジナルよりアーカイブ。2006年8月23日閲覧。 注：雑誌の論文にはプレプリントには見られない記述が含まれている。
• Robinson, Abraham (1996). Non-standard analysis (Revised edition ed.). Princeton University Press. ISBN 0-691-04490-2 
• Rosenlicht, Maxwell (1985). Introduction to Analysis. Dover. ISBN 0-486-65038-3 
• Rudin, Walter (1976) [1953]. Principles of mathematical analysis (3e ed.). McGraw-Hill. ISBN 0-07-054235-X 

  より進んだ学部生の課程のための教科書。「有理数から実数を構成する方法から始めるのは（論理的には正しいけれども）教育上好ましくないことを経験上確信している。初期の段階では、多くの生徒は、このことの必要性についてその価値を認めることができない。それゆえ、実数の体系は、上限が存在する実数体として紹介され、この性質の興味深いいくつかの応用例がすぐになされる。デデキントの構成は無視されている。現在はこれは第1章の Appendix にあり、機が熟したときにいつでも勉強して楽しむことができる。」(p.ix)

• Shrader-Frechette, Maurice (1978-03). “Complementary Rational Numbers” (restricted access). Mathematics Magazine 51 (2): 90-98. http://links.jstor.org/sici?sici=0025-570X%28197803%2951%3A2%3C90%3ACRN%3E2.0.CO%3B2-O. 
• Smith, Charles and Charles Harrington (1895). Arithmetic for Schools. Macmillan. https://books.google.co.jp/books?vid=LCCN02029670&pg=PA115&redir_esc=y&hl=ja 
• Sohrab, Houshang (2003). Basic Real Analysis. Birkhäuser. ISBN 0-8176-4211-0 
• Stewart, Ian (1977). The Foundations of Mathematics. Oxford UP. ISBN 0-19-853165-6 
• Stewart, James (1999). Calculus: Early transcendentals (4e ed.). Brooks/Cole. ISBN 0-534-36298-2 

  この本は「生徒たちが微積分を理解するのを援助」し、「観念に対する理解を育成する」ことを目的としている (p.v)。微積分の基本性質の証明は省略されている。

• D.O. Tall and R.L.E. Schwarzenberger (1978). “Conflicts in the Learning of Real Numbers and Limits”. Mathematics Teaching 82: 44-49. http://www.warwick.ac.uk/staff/David.Tall/pdfs/dot1978c-with-rolph.pdf. 
• Tall, David (1976-07). “Conflicts and Catastrophes in the Learning of Mathematics”. Mathematical Education for Teaching 2 (4): 2-18. http://www.warwick.ac.uk/staff/David.Tall/pdfs/dot1976a-confl-catastrophy.pdf. 
• Tall, David (2000). “Cognitive Development In Advanced Mathematics Using Technology”. Mathematics Education Research Journal 12 (3): 210-230. http://www.warwick.ac.uk/staff/David.Tall/pdfs/dot2001b-merj-amt.pdf. 
• von Mangoldt, Dr. Hans (1911). “Reihenzahlen” (German). Einführung in die höhere Mathematik (1st ed.). Leipzig: Verlag von S. Hirzel 
• Wallace, David Foster (2003). Everything and more: a compact history of infinity. Norton. ISBN 0-393-00338-8 

関連項目

• 循環小数
• 十進法
• 超準解析
• 実数
• 実数の連続性
• コーシー列
• デデキント切断
• 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + …: 0.999… と同じく、1 に等しい数式。

外部リンク

ウィキメディア・コモンズには、0.999...に関連するメディアおよびカテゴリがあります。

• .999999... = 1? （英語） from cut-the-knot
• Why does 0.9999… = 1 ? （英語）
• Repeating Nines （英語）
• Point nine recurring equals one （英語）
• David Tall's research on mathematics cognition （英語）

[前の解説]

「0.999...」の続きの解説一覧

• 1 0.999...とは
• 2 0.999...の概要