子群

假設 $(G,*)$ 是一個 群（group），若 $H$ 是 $G$ 的一個非空子集（subset）且同時 $H$ 與相同的二元運算 $*$ 亦構成一個群，則 $(H,*)$ 稱為 $(G,*)$ 的一個 子群（subgroup）。參閱群論。

更精確地來說，若運算 $*$ 在 $H$ 的限制也是個在 $H$ 上的群運算，則稱 $H$ 為 $G$的子群。

一個群 $G$ 的 純子群 是指一個子群 $H$，其為 $G$的純子集（即 $H$ ≠ $G$）。任一個群總會有兩個子群 當然群（為只包含單位元的子群，{e}）以及 群本身。若 $H$ 為 $G$的子群，則 $G$ 有時會被稱為 $H$ 的「母群」。

相同的定義可以應用在更廣義的範圍內，當 G 為一任意的半群，但此一條目中只處理群的子群而已。群G 有時會被標記成有序對(G,*)，通常用以強調其運算 $*$ 當 G 帶有多重的代數或其他結構。

在下面的文章中，會使用省略掉 $*$ 的約定，並將乘積a*b寫成 ab。

子群的檢驗

給定一個群$(G,*)$，$H$為$G$的子集，則有$H$為$G$的子群當且僅當$\forall h,h'\in H,h*(h')^{-1}\in H$。

若$H$為$G$的子群可表示為$H\leq G$，則以上表述可表示為:

$H\leq G\Longleftrightarrow \forall h,h'\in H,h*(h')^{-1}\in H$

證明：

$(\Longrightarrow )$：

因為$H\leq G$，對於任意$h'\in H$，$\exists h'^{-1}\in H$，另有$h\in H$，由於$H$為一個群，所以$h*h'^{-1}\in H$。

$(\Longleftarrow )$：

假設$\exists x\in H$，令$h=h'=x$，可得$h*h^{-1}=x*x^{-1}=e_{G}\in H$，即$H$存在單位元。

對於$x\in H$，令$h=e_{G}$，$h'=x$，可得$h*h^{-1}=e_{G}*x^{-1}=x^{-1}\in H$，即對於任意$x\in H$，存在$x^{-1}\in H$。

對於$x,y\in H$，令$h=x$，$h'=y^{-1}$，可得$h*h^{-1}=x*(y^{-1})^{-1}=x*y\in H$，即對於任意$x,y\in H$，$x*y\in H$。

因此$H\leq G\Longleftrightarrow \forall h,h'\in H,h*(h')^{-1}\in H$成立。

子群的基本性質

• $H\leq G$ $\Longleftrightarrow$$H\subseteq G$且存在一個映射$\phi :H\to G$,且對每個 $a\in H$ 有$\phi (a)=a$。
• $H\leq G$ $\Longleftrightarrow$$e_{H}=e_{G}$,其中$e_{H},e_{G}$為$H,G$ 的單位元。
• 若$H\leq G$，則$a,b$為會使得$ab=ba=e_{H}$ 之 $H$ 中的元素，有$ab=ba=e_{G}$。
• 若$H_{1}\leq G,H_{2}\leq G\Rightarrow H_{1}\cap H_{2}\leq G$ .但$H_{1}\cup H_{2}$則不一定，例如2和3是在$2\mathbb {Z}$與$3\mathbb {Z}$的併集中，但其總和5則不是。
• 若S是G的子集，則存在一個包括S的最小子群，其可以由取得所有包括S的子群之交集來找出；此一最小子群被標記為<S>且稱為由S產生的子群。G內的一個元素在<S>內當且僅當其為S內之元素的有限乘積且其反元素。
• 群G內的每一個元素a都會產生一個循環子群<a>。若<a>同構於某一正整數n之Z/nZ，則n會是最小個會使得aⁿ = e的正整數，且n被稱為是a的「階」。若<a>同構於Z，則a會被稱有「無限階」。
• 任一給定的群之子群都會形成一個在內含下的完全格，稱之為子群格。(其最大下界為一般的集合論交集，而其一群子群的最小上界所此些子群之集合論併集「所產生」的子群。)若e為G的單位元，則其當然群{e}會是群G的最小子群，而其最大子群則會是群G本身。

例子

1. 有限群

$G=\{0,1,2,3,4,5,6,7\}$ 和以8為模的加法為二元運算的群(此群亦同時是阿貝爾群)。 其凱萊表為

+	0	4	2	6	1	3	5	7
0	0	4	2	6	1	3	5	7
4	4	0	6	2	5	7	1	3
2	2	6	4	0	3	5	7	1
6	6	2	0	4	7	1	3	5
1	1	5	3	7	2	4	6	0
3	3	7	5	1	4	6	0	2
5	5	1	7	3	6	0	2	4
7	7	3	1	5	0	2	4	6

此凱萊表是故意不用常規的排列法來表明此群有着一對非當然子群：$J=\{0,4\}$ 和 $H=\{0,2,4,6\}$，其中 $J$ 亦是 $H$ 的子群。$H$ 的凱萊表是 $G$ 的凱萊表之左上半部。 $G$ 群是循環的，而其子群亦為。一般而言，循環群的子群亦為循環的。

2. 二面體群

如果$G=D_{n}$，則 $R=\{e,r,r^{2},...,r^{n-1}\}$是一個子群

3.群的中心，中心化子，正規化子

我們設$Z(G)$一個群G的子集，包含了所有與群G中其他元素可交換的元素，也就是說

$Z(G)=\{x\in G|\;xg=gx\;\,\;\forall \,g\in G\}$，此集合為群G的子群。我們稱此子群為群的中心，記作$Z(G)$。

設A為G的任意子集，則A在G中的中心化子為集合$C_{G}(A)$，此集合的定義為:

$C_{G}(A)=\{g\in G\;|\;gag^{-1}=a\;\;\forall a\in A\}$，此集合也是群G的子群。

至於A在G中的正規化子則為集合$N_{G}(A)$，此集合定義為:

$N_{G}(A)=\{g\in G\;|\;gAg^{-1}\subseteq A\}$，此集合也是群G的子群。

陪集和拉格朗日定理

給定一子群H和G內的某一元素a，則可定義出一個左陪集 aH={ah;h∈H}。因為a為可逆的，由φ(h) = ah給出之映射φ : H → aH為一個對射。更甚地，每一個G內的元素都包含在恰好一個H的左陪集中；其左陪集為對應於一等價關係的等價類，其等價關係a₁ ~ a₂當且僅當a₁⁻¹a₂會在H內。H的左陪集之數目稱之為H在G內的「指數」，並標記為[G:H]。

拉格朗日定理敘述著對一個有限群G和一個子群H而言，

$[G:H]={o(G) \over o(H)}$

其中o(G)和o(H)分別為G和H的階。特別地是，每一個G的子群的階(和每一個G內元素的階)都必須為o(G)的因數。 右陪集為相類比之定義：Ha = {ha : h∈H}。其亦有對應於一適當之等價關係的等價類，且其個數亦會相等於[G:H]。

若對於每個在G內的a，aH=Ha，則H稱之為正規子群。每一個指數2的子群皆為正規的：左陪集和右陪集都簡單地為此一子群和其補集。

另見

• 嘉當子群
• 費汀子群
• 穩定子群