達西–威斯巴哈方程式

達西–威斯巴哈方程式（英語：Darcy–Weisbach equation）是流體力學中的唯象方程式，得名自物理學家亨利·達西和尤利烏斯·威斯巴哈，此方程式描述固定長度管路內因摩擦力產生的揚程損失（或稱為壓強損失）和管路中的平均流速的關係。

達西–威斯巴哈方程式中包括一個無因次的摩擦因子，名為達西–威斯巴哈摩擦因子或達西摩擦因子，此摩擦因子是范甯摩擦係數的四倍。

壓力損失方程

在均勻直徑D的圓管，流體完全填滿圓管，因為粘滯效應造成的壓力損失Δp和其圓管長度L成正比，可以用達西–威斯巴哈方程式來描述：

${\frac {\Delta p}{L}}=f_{\mathrm {D} }\cdot {\frac {\rho }{2}}\cdot {\frac {{\langle v\rangle }^{2}}{D_{H}}},$

其中單位長度的壓力損失Δp/L（SI制單位：Pa/m）是以下參數的函數：

$\rho$，流體密度（kg/m³）

$D_{H}$，管子的水力直徑（若是圓管，水力直徑等於D，否則D_H = 4A/P，A是管子的浸潤橫截面積，P)是管子的浸潤周長，m）

$\langle v\rangle$，平均流速，可以表示為單位截面浸潤面積下的體積流率 Q（m/s）

$f_{\mathrm {D} }$，是達西摩擦因子（也稱是flow coefficient λ），可以在穆迪圖中找到，此因子並非范寧摩擦因子f。

針對直流為$D_{c}$圓管下的層流，摩擦因子和雷諾數成反比（f_D = 64/Re），此時的因子可以用容易量測或是已發表的物理量描述。將上式代入達西–威斯巴哈方程式，可將方程式改寫為

${\frac {\Delta p}{L}}={\frac {128}{\pi }}\cdot {\frac {\mu Q}{D_{c}^{4}}},$

其中

μ是流體的黏度（Pa·s = N·s/m² = kg/(m·s)）

Q是體積流率，此處用體積流率代替平均流速，因為Q = π/4D_c²<v>（m³/s）。

層流時的公式和泊肅葉定律等效，可以由納維-斯托克斯方程推導。

揚程損失公式

揚程損失 Δh（或h_f）表示因為摩擦力產生的壓力損失，以工作流體的液柱高度表示，因此壓力損失為

$\Delta p=\rho g\,\Delta h,$

其中

Δh是特定長度，此長度管壁摩擦產生的揚程損失（SI制單位：m）

g是重力加速度（m/s²）。

可以將損程表示為單位管長下的量，會是無因次量：

$S={\frac {\Delta h}{L}}={\frac {1}{\rho g}}\cdot {\frac {\Delta p}{L}},$

其中L是管長（m）。

因此達西–威斯巴哈方程式也可以用揚程損失來表示：

$S=f_{\text{D}}\cdot {\frac {1}{2g}}\cdot {\frac {{\langle v\rangle }^{2}}{D}}.$

以體積流率表示

平均流體速度<v>和體積流率Q的關係是

$Q=A\cdot \langle v\rangle ,$

其中

Q 是體積流率（m³/s）

A 是濕潤截面積（m²）

針對截面完全被流體填滿，直徑為$D_{c}$的圓管，

$Q={\frac {\pi }{4}}D_{c}^{2}\langle v\rangle .$

因此以Q表示的達西–威斯巴哈方程式為

$S=f_{\text{D}}\cdot {\frac {8}{\pi ^{2}g}}\cdot {\frac {Q^{2}}{D_{c}^{5}}}.$

達西摩擦因子

參見：達西摩擦因子公式

流體流經一定管徑的直管時，由於流體內摩擦力而產生的阻力，阻力的大小與路程長度成正比。沿程阻力（直管阻力）損失的計算式中 λ——摩擦係數，與雷諾數Re和管壁粗糙度ε有關，可實驗測定，也可計算得出。

層流時：

λ=64/Re

對於紊流流動，工程上通過以下兩種途徑確定：一種是以紊流的半經驗理論為基礎，結合實驗結果，整理成阻力係數的半經驗公式，比如穆迪圖；另一種是直接根據實驗結果，綜合成阻力係數的經驗公式。前者具有更為普遍的意義。

相關條目

• 泊肅葉定律
• 水管
• 范甯摩擦係數