Normal paylanmanın sıxlığı.(Yaşıl xətt standart normal paylanmanı göstərir.) Normal paylanma və ya Qauss paylanması
Normal paylanmanın mahiyyəti mərkəzi limit teoreminə əsaslanır. Burada deyilir ki, bir-birindən asılı olmayan, identik paylanmış təsadüfi dəyişənlərin sərhəd qiymətləri normal paylanır. Təsadüfi dəyişənlər o vaxt normal paylanırlar ki, onlar çoxlu sayda amillərin təsirlərinin cəmlənməsindən yaranır və hər bir amil ayrı-ayrılıqda heç bir əhəmiyyətli təsirə malik deyil.
Təsadüfi parametrlərin normal paylanmasından sürətlərin, ölçü xətalarının, nəzarət xətalarının təyini zamanı aparılan sınaqlar zamanı istifadə edilir.
Riyazi və statatistik qiymətləndirmələr zamanı qiymətləndirilən funksiya əmsallarının meyilli olub olmamasının təyin edilməsi üçün normal paylanmadan istifadə edilir.
Ehtimal paylanma sıxlığı
f
:
R
→
R
,
x
↦
f
(
x
)
{\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ x\mapsto f(x)}
f
(
x
)
=
1
σ
2
π
exp
(
−
1
2
(
x
−
μ
σ
)
2
)
{\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}\right)}
o vaxt
μ
{\displaystyle \mu }
σ
{\displaystyle \sigma }
X
∼
N
(
μ
,
σ
2
)
{\displaystyle X\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}
(
μ
,
σ
2
)
{\displaystyle (\mu ,\sigma ^{2})}
μ
{\displaystyle \mu }
σ
{\displaystyle \sigma }
Normal paylanmanın sıxlıq funksiyası
F
(
x
)
=
1
σ
2
π
∫
−
∞
x
exp
(
−
1
2
(
t
−
μ
σ
)
2
)
d
t
{\displaystyle F(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\int _{-\infty }^{x}\exp \left(-{\frac {1}{2}}\left({\frac {t-\mu }{\sigma }}\right)^{2}\right)\mathrm {d} t}
ilə təsvir olunur.
μ
{\displaystyle \mu }
σ
{\displaystyle \sigma }
p
(
x
)
=
1
σ
2
π
exp
(
−
(
x
−
μ
)
2
2
σ
2
)
.
{\displaystyle p(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right).}
Belə dəyişənlərin paylanma funksiyası elementar funksiya ilə təyin olunmur və
F
(
x
)
=
1
σ
2
π
∫
−
∞
x
exp
(
−
(
t
−
μ
)
2
2
σ
2
)
d
t
.
{\displaystyle F(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\int _{-\infty }^{x}\exp \left(-{\frac {(t-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)dt.}
kimi Riman inteqralının köməyi ilə təsvir olunur.
Standart normal dəyişən üçün paylanma funksiyası bərabərdir:
F
(
x
;
0
,
1
)
=
1
2
π
∫
−
∞
x
exp
(
−
t
2
2
)
d
t
.
{\displaystyle \operatorname {F} (x;0,1)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}\exp \left(-{\frac {t^{2}}{2}}\right)dt.}
Ümumi normal dəyişən üçün normal paylanma
F
0
{\displaystyle F_{0}}
F
(
x
,
μ
,
σ
)
=
F
(
x
−
μ
σ
,
0
,
1
)
.
{\displaystyle \operatorname {F} (x,\mu ,\sigma )=F\left({\frac {x-\mu }{\sigma }},0,1\right).}
Standart təsadüfi dəyişənin
0
{\displaystyle 0}
∫
−
∞
0
exp
(
−
(
t
−
μ
)
2
2
σ
2
)
d
t
=
0
,
5
{\displaystyle \int _{-\infty }^{0}\exp {\left(-{\frac {(t-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}dt=0,5}
Buradan alınır ki, standart normal dəyişənin
(
0
,
x
)
{\displaystyle (0,x)}
F
(
x
,
0
,
1
)
=
0
,
5
+
∫
0
x
exp
(
−
t
2
2
)
d
t
=
0
,
5
+
Φ
(
x
)
,
{\displaystyle \operatorname {F} (x,0,1)=0,5+\int _{0}^{x}\exp \left(-{\frac {t^{2}}{2}}\right)dt=0,5+\Phi (x),}
burada
Φ
(
x
)
{\displaystyle \Phi (x)}
Φ
(
x
)
=
1
2
π
∫
0
x
exp
(
−
t
2
2
)
d
t
.
{\displaystyle \operatorname {\Phi } (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{0}^{x}\exp \left(-{\frac {t^{2}}{2}}\right)dt.}
μ
{\displaystyle \mu }
σ
{\displaystyle \sigma }
(
α
,
β
)
{\displaystyle (\alpha ,\beta )}
P
(
α
<
X
<
β
)
=
Φ
(
β
−
μ
σ
)
−
Φ
(
α
−
μ
σ
)
{\displaystyle \operatorname {P} (\alpha <X<\beta )=\Phi ({\frac {\beta -\mu }{\sigma }})-\Phi ({\frac {\alpha -\mu }{\sigma }})}
Normal paylanmanın xarakteristik funksiyası belədir:
f
(
t
)
=
E
{
e
i
t
ξ
}
=
exp
(
i
μ
t
−
σ
2
t
2
2
)
,
{\displaystyle f(t)=\operatorname {E} \{e^{it\xi }\}=\exp \left(i\mu t-{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}\right),}
burada
ξ
∼
N
(
μ
,
σ
2
)
{\displaystyle \xi \sim N(\mu ,\sigma ^{2})}
μ
{\displaystyle \mu }
σ
{\displaystyle \sigma }
