Binární relace
Binární relace je pojem z matematiky. Vyjadřuje vztah (relaci) prvků jedné množiny k prvkům množiny druhé.
Příklad: Mějme množiny čísel , . Definujeme vztah (binární relaci) „je větší“ prvků z k prvkům z . Vidíme, že číslo z množiny „je větší“ než číslo z množiny . Říkáme, že prvek je v binární relaci „je větší“ s prvkem , zkráceně „je větší“ . Většinou prvky, které jsou v binární relaci, značíme jen jako uspořádanou dvojici . Binární relaci z tohoto příkladu lze popsat jako množinu uspořádaných dvojic . Na množinu lze nahlížet jako na podmnožinu kartézského součinu . Trojici množin lze považovat za definici binární relace.
![{\displaystyle [8,3]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e29e2b69798ecacdcd758cc5a1ca4a46a3921898)
![{\displaystyle R=\{[8,3],[8,5],[8,6],[5,3]\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f63ea8b5b2cbfbe9f9b579885587e1833f92323)
![{\displaystyle [A,B,R]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d80eb5b206e304b1b4b190674f11852e32d14818)
Definice
[editovat | editovat zdroj]Binární relace je uspořádaná trojice , kde a jsou libovolné množiny a je podmnožina kartézského součinu . Množině se říká definiční obor, množině obor hodnot a množinu nazýváme graf relace.
To, že prvek je v relaci s prvkem značíme zápisem , nebo zápisem , kde a .
![{\displaystyle [x,y]\in R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d49e1162569d4a083a57dd8de9522ebf0d588565)
Druhy relací
[editovat | editovat zdroj]Binární relace je:
- symetrická: pokud platí , pak platí i .
- Příkladem může být relace „je sourozenec“. Je-li i množinou všech mých příbuzných, a platí-li (já sestra), pak také platí (sestra já). Pokud sourozence nemám, je graf relace prázdnou množinou. I taková relace je symetrická.
- antisymetrická: pokud a současně , pak platí .
- tranzitivní: pokud a současně , pak platí .
- Příkladem může být už zmíněná relace "je sourozenec" nebo relace "je vyšší". Já jsem vyšší než Petr a současně Petr je vyšší než Ondřej, z toho plyne: Já jsem vyšší než Ondřej. Tranzitivní relací například není relace "být kamarád". Já jsem kamarád Petra, on je kamarád Ondřeje, z toho ale nevyplývá kamarádství mezi mnou a Ondřejem.
- reflexivní: pokud pro každé platí . (Prvek je v relaci sám se sebou.)
- Příklad reflexivní relace je "je stejný", příklad nereflexivní relace je "je vyšší". Neplatí, já "je vyšší" (než) já.
Relaci, která je reflexivní, symetrická, a tranzitivní nazýváme relace ekvivalence.
Relaci, která je reflexivní, antisymetrická a tranzitivní nazýváme částečné uspořádání.
Další typy: úplné uspořádání, dobré uspořádání.
Operace s relacemi
[editovat | editovat zdroj]Na množině binárních relací jsou definovány následující operace, jejichž výsledkem je opět relace:
- Inverzní relace k relaci mezi množinami a je relace
![{\displaystyle R^{-1}=\{[y,x]\in B\times A\ |\ [x,y]\in R\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e382a30dea4f28521b2d7ee660e898cdebe8d993)
- Relace složená z relací a je relace
![{\displaystyle R\circ S=\{[x,z]\ |\ [x,y]\in R\land [y,z]\in S\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42770be0e4bfdec2ab7c50925b5911466a70c186)
- Průnik relací a je relace
![{\displaystyle R\cap S=\{[x,y]\ |\ [x,y]\in R\land [x,y]\in S\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5810ad0ffa26b5570f29d3d238b43fe4e463ea2f)
- Sjednocení relací a je relace
![{\displaystyle R\cup S=\{[x,y]\ |\ [x,y]\in R\lor [x,y]\in S\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1c584c3324ca88a063bcc9c6a3320090d8ce916)
Literatura
[editovat | editovat zdroj]BARTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. 4. vyd. Praha: Academia, 1994. 832 s. ISBN 80-200-1448-9.
Externí odkazy
[editovat | editovat zdroj]
Obrázky, zvuky či videa k tématu binární relace na Wikimedia Commons
