Lorenzův atraktor

Lorenzův atraktor, zavedený Edwardem Lorenzem v roce 1963, je nelineární trojdimenzionální deterministický dynamický systém odvozený ze zjednodušených rovnic vynucené konvekce v atmosféře. Pro jistou množinu parametrů systém vykazuje chaotické chování a zobrazuje to, co se dnes nazývá podivný atraktor; to bylo dokázáno W. Tuckerem v roce 2001. Podivný atraktor v tomto případě je fraktál s Hausdorffovou dimenzí mezi 2 a 3. Grassberger (1983) odhadl Hausdorffovu dimenzi na $2{,}06\pm 0{,}01$ a korelační dimenzi na $2{,}05\pm 0{,}01$ .

Systém vzniká v laserech, dynamech, a specifických vodních kolech[1].

{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=\sigma (y-x)

{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}=x(r-z)-y

{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}=xy-bz

kde $\sigma$ je Prandtlovo číslo a $r$ je Rayleighovo číslo (redukované). $\sigma ,r,b>0$ , ale obvykle $\sigma =10$ , $b=8/3$ a $r$ se mění. Systém vykazuje chaotické chování pro $r=28$ , ale zobrazuje zamotané periodické orbity pro další hodnoty $r$ . Například pro $r=99{,}96$ vzniká $T(3,2)$ prstencové klubko.

Reference

Lorenz, E, N., Deterministic nonperiodic flow, J. Atmos. Sci., 1963, 20, 130-141
Frøyland, J., Alfsen, K. H., Lyapunov-exponent spectra for the Lorenz model, Phys. Rev. A, 1984, 29, 2928–2931
Strogatz, Steven H., Nonlinear Systems and Chaos, Perseus publishing, 1994
Jonas Bergman, Knots in the Lorentz system, Undergraduate thesis, Uppsala University 2004
P. Grassberger and I. Procaccia, Measuring the strangeness of strange attractors, Physica D, 1983, 9 189-208 (odkaz)
J. Horák, L. Krlín, A. Raidl, Deterministický chaos a jeho fyzikální aplikace, Academia, Praha 2003

Externí odkazy

Obrázky, zvuky či videa k tématu Lorenzův atraktor na Wikimedia Commons
Lorenz Attractor
planetmath.org: Lorenz Equation Archivováno 7. 6. 2009 na Wayback Machine.
Levitated.net: computational art and design
Animated Lorenz strange attractor
Generátor Lorenzova atraktoru
Náhoda v exaktní vědě (z archivu)