Přeskočit na obsah

Operátor

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Tento článek je o matematickém pojmu. Další významy jsou uvedeny na stránce Operátor (rozcestník).

Operátor je v matematice takové zobrazení, které prvku nějakého prostoru (například funkci) f přiřazuje prvek jiného prostoru g, tedy

,

kde . Působením operátoru na f tedy získáme g. Říkáme, že na X je dán operátor , zobrazující prostor X do prostoru Y.

Operátor se obvykle značí stříškou, například , apod.

Prvek se nazývá vzor (originál), prvek obrazem.

Množina všech , které přísluší všem , tedy množina všech obrazů, se nazývá obor hodnot operátoru . Obvykle se značí . Pokud operátor není definován pro všechna , pak se množina těch , pro které definován, nazývá definičním oborem operátoru. Významově se tedy pojem operátor dosti překrývá s konceptem zobrazení, ale typicky se používá v kontextu prostorů funkcí, které samy jsou zobrazeními; pro přehlednost je tedy užitečné tuto vyšší úroveň zobrazování pojmenovat jinak.

Jako operátor se v matematice a informatice dále označuje značka nějaké matematické transformace, například znaménko + jako značka přičítání.

Funkcionál

[editovat | editovat zdroj]

Pokud je množina reálných, případně komplexních čísel, takže proměnná g je reálné či komplexní číslo, pak se operátor nazývá (reálný či komplexní) funkcionál.

Vybrané druhy operátorů

[editovat | editovat zdroj]

Lineární operátor

[editovat | editovat zdroj]

Lineární operátor je takový operátor, pro který platí

kde jsou libovolné funkce a jsou libovolné koeficienty.

Linearitu operátoru stačí ověřit na dvou sčítancích. Tedy že pokud existují libovolné koeficienty a libovolné vektory takové, že a , pak platí

Pro libovolnou konečnou sumu se pak dá tvrzení dokázat matematickou indukcí.

Ještě jednodušeji vyjádřeno stačí ověřit, že platí tyto dvě vlastnosti:

1) (x+y) = (x) + (y),

2) (cx) = c (x), kde c je konstanta.

Lineárním operátorem je například limita, když x a y jsou funkce nebo posloupnosti. Limita je lineární operace a protože derivace je definována pomocí limit, je též lineárním operátorem. Integrál je inverzní operátor k derivaci, je tedy též lineárním operátorem.

Antilineární operátor

[editovat | editovat zdroj]

Operátor se označuje jako antilineární, jestliže platí

,

kde jsou libovolné funkce a jsou koeficienty komplexně sdružené k .

Operátor identity

[editovat | editovat zdroj]

Důležitým operátorem je operátor identity (jednotkový operátor) , pro který platí

Působením operátoru identity tedy nedochází k žádné změně.

Totožné operátory

[editovat | editovat zdroj]

Pokud pro dva operátory z X do Y platí pro každé , pak jsou oba operátory totožné.

Spojitý operátor

[editovat | editovat zdroj]

Operátor se nazývá spojitý v bodě , jestliže pro každou posloupnost prvků z , pro kterou v prostoru platí , platí také , tzn. , v prostoru .

Lineární operátor, který je spojitý v nějakém bodě , je spojitý v každém bodě .

Omezený operátor

[editovat | editovat zdroj]

Operátor je ohraničený (omezený) operátorem tehdy, jestliže existuje takové (nezávislé na f), že pro každé platí

,

kde je norma funkce (vlastního řešení) f v prostoru X a je norma prvku v prostoru Y.

Lineární operátor je spojitý právě když je omezený. Platí, že součin omezených operátorů představuje opět omezený operátor. Podobně platí, že součet omezených operátorů je opět omezeným operátorem.

Infimum čísel operátoru představuje normu operátoru , tzn.

Normu lze také získat jako supremum množiny čísel pro všechny jednotkové prvky f, tzn.

Symetrický, hermitovský a sdružený operátor

[editovat | editovat zdroj]
Podrobnější informace naleznete v článku Sdružený operátor.
Podrobnější informace naleznete v článku Hermitovský operátor.

Operátor se označuje jako symetrický, jestliže platí

kde bylo použito zápisu pomocí Diracovy symboliky běžně užívané v kvantové fyzice.

Omezený symetrický operátor se označuje jako hermitovský.

Operátor se označuje jako antihermitovský, je-li operátor hermitovský.

K operátoru existuje sdružený operátor , který splňuje vztah

neboli

Platí vztahy

Operátor  se nazývá samosdružený, jestliže platí

Pro omezené operátory jsou pojmy samosdružený, hermitovský a symetrický ekvivalentní.

Samosdružený operátor je pozitivní, když pro každé platí

Operátor se označuje jako normální, když platí

,

kde označují komutátor.

Inverzní operátor

[editovat | editovat zdroj]

Operátor je inverzním operátorem k , pokud platí

,

kde představuje operátor identity. Inverzní operátor k danému operátoru nemusí existovat.

Platí vztahy (existují-li obě strany výrazů)

Unitární operátor

[editovat | editovat zdroj]
Podrobnější informace naleznete v článku Unitární operátor.

Operátor je unitární, pokud platí

neboli

,

kde je operátor identity.

Pro libovolný unitární operátor platí

Jestliže operátor splňuje vztah

,

pak operátor označujeme jako izometrický. Izometrický operátor sice splňuje vztah , avšak na rozdíl od operátoru unitárního může být .

Projekční operátor

[editovat | editovat zdroj]

Omezený operátor se označuje jako projekční, splňuje-li podmínky

Je-li projekční operátor, pak je projekčním operátorem také

,

kde představuje operátor identity. Platí přitom vztahy

Je-li vektor normalizovaný k jednotce, pak projekční operátor do jednorozměrného podprostoru tvořeného všemi vektory lineárně závislými na lze vyjádřit jako

Jestliže množina vektorů tvoří ortonormální bázi podprostoru , pak projekční operátor do vyjádříme jako

Pokud je , pak je projekční operátor operátorem identity, takže

Tento vztah představuje tzv. relaci úplnosti (uzavřenosti).

Operace s operátory

[editovat | editovat zdroj]

Součtem dvou operátorů vznikne operátor , pro který platí

Operátor označíme jako součin operátorů a , tzn. , pokud pro každé u platí

Pomocí předchozího vztahu lze definovat mocninu operátoru, například .

Násobení operátorů není komutativní, tedy v obecném případě pro dva operátory neplatí . Abychom vystihli vzájemnou nekomutativnost dvou operátorů , zavádíme tzv. komutátor operátorů

Dva nekomutativní operátory splňují pro některé u vztah

Dva komutativní operátory splňují pro libovolné u vztah

Jsou-li lineární hermiteovské operátory komutativní, pak mají společné vlastní funkce.

Jestliže operátory komutují, tedy , pak pro libovolné funkce f, g platí

Kromě komutátoru se zavádí také antikomutátor operátorů

Z definice komutátoru a antikomutátoru vzniknou následující vztahy:

Platí také Jacobiho identita

  • Příkladem lineárního operátoru může být operátor , který funkci, na niž je aplikován, přiřazuje její derivaci podle proměnné x.
  • Nelineárním operátorem je operátor . Působením tohoto operátoru na libovolnou funkci f vyjde .

Operátory jsou nepostradatelné jak v diferenciálním počtu v matematice (například operátor nabla), tak při použití v kvantové mechanice a při zjednodušování zápisu identit (rovnic) jinde ve fyzice. Používají se také při zápisu počítačových programůprogramovacích jazycích.

Podrobnější informace naleznete v článku Arita operace.

Arita jako pojem udává počet operandů daného operátoru:

  1. unární - operátor s jedním operandem, například negace, ať aritmetická, logická či doplněk množiny (v rámci zamlčeného definičního oboru).
  2. binární - jde o nejčastější případ, tedy pokud se v praxi mluví o operátoru, typicky jde o operátor se dvěma operandy: Je nejintuitivnější při našem lidském lineárním zápisu textu. Například: +-*^
  3. ternární - operátorů se třemi operandy je jen málo, v porovnání s množstvím binárních jsou výjimečné. Typickým zástupcem je ternární operátor z programování.

Slovo "arita" pochází z latinského kořene adjektiva popisujícího počet operandů operátoru, zda je tento: un-ár(ní), bin-ár(ní), tern-ár(ní)...

Související články

[editovat | editovat zdroj]