Addierwerk

Das Addierwerk (auch Addiernetz) ist die Hauptkomponente des Rechenwerks einer CPU.

Das Addiernetz bildet aus den Summanden a_3..0 und b_3..0 die Summe s_3..0, carry_in und carry_out ermöglichen die Kaskadierung des Schaltnetzes

Das Addierwerk ermöglicht die Addition zweier mehrstelliger Binärzahlen. Da sich alle vier Grundrechenarten auf die Addition zurückführen lassen, bildet es das zentrale Element des Rechenwerks (Arithmetisch-logische Einheit, ALU) eines Prozessors. Während das Addiernetz asynchron funktioniert, arbeitet das Addierwerk getaktet und puffert das Ergebnis mit Speicherbausteinen.

Ein Addierwerk kann auf verschiedene Arten realisiert sein. Die bekanntesten Schaltungen sind das Paralleladdierwerk, das Serienaddierwerk und das Von-Neumann-Addierwerk. Alle drei verwenden Halb- und/oder Volladdierer zur Durchführung der Addition.

Schaltungstypen

Paralleladdierwerk

Aufbau eines 4-Bit-Carry-Ripple-Addierers

In der Grundform wird der Carry-Ripple-Addierer als Addiernetz verwendet, wobei das Carry-Out mit dem Carry-In des nächsten Volladdierers verbunden wird. Zur Bildung der Summe muss im Worst Case das Signal des Carry-Bits vom niederstwertigen Addierer bis zum höchstwertigen Addierer wandern. Daraus folgt bei großen Rechenwerken eine erhebliche Laufzeit im Addiernetz, in der Folge wurden Schaltnetze mit reduzierter Laufzeit entwickelt.

Paralleladdierer mit Übertragsumleitung (Carry-Skip-Addierer), die Volladdierer werden zu Gruppen zusammengefasst und durch Zusatzlogik wird schnell ermittelt, ob ein Carry-In die Gruppe durchwandert. (Bei allen Addierern liegt mindestens an einem Eingang eine 1, somit haben alle einzelnen Addierer einen Übertrag im Ergebnis.)
Paralleladdierer mit Übertragsvorausberechnung (Carry-Look-Ahead-Addierer), das Schaltnetz für eine Addierergruppe enthält eine aufwändige Logik, die deren Übertrag direkt ermittelt.
Conditional-Sum-Addierer, berechnet für eine Addierergruppe das Ergebnis sowohl mit als auch ohne Carry-In gesetzt. Eine Auswahl-Logik schaltet in Abhängigkeit vom Carry-In das entsprechende Ergebnis zu den Ausgängen.

Der Vorteil des Paralleladdierers liegt in der gleichzeitigen Arbeit aller beteiligten Addierer. Der Nachteil der Grundform sind die langen Signal-Laufzeiten, da sich der Übertrag im Extremfall von rechts nach links durch die Schaltung propagieren muss. Die Weiterentwicklungen benötigen eine große Zahl zusätzlicher Gatter, deren Zahl linear mit der Breite n der zu addierenden Stellen des Dualsystems steigt.

Serienaddierwerk

Serienaddierwerk berechnet die Summe Stelle für Stelle

Das Serienaddierwerk benötigt einen Volladdierer sowie ein D-Flip-Flop zur Addition zweier n-stelliger Binärzahlen. In jedem Takt wird das äußerste rechte Bit der Binärzahlen aus den Schieberegistern sowie der Wert im D-Flip-Flop in den Volladdierer übertragen. Das Ergebnis wird in einem Register gespeichert und der Übertrag im D-Flip-Flop für den nächsten Takt gespeichert. Der Vorteil des Serienaddierwerks liegt in der geringen Anzahl der benötigten elektronischen Bauteile. Der Nachteil liegt in der seriellen Abarbeitung, so dass n + 1 Takte zur Addition zweier n-stelliger Binärzahlen nötig sind.

Die Kombination der Vorteile des Parallel- und Serienaddierers führt zum Von-Neumann-Addierwerk.

Von-Neumann-Addierwerk

4-Bit-Von-Neumann-Addierwerk

Das Von-Neumann-Addierwerk benötigt n Halbaddierer zur Addition zweier n-stelliger Binärzahlen. Die Addition erfolgt durch folgenden Algorithmus

Wiederhole

Register A und P mit Summanden laden
Addieren
Register A mit Summen ohne Übertrag laden, in P Überträge laden
Aktion 2 und 3 so lange wiederholen, bis Register S den Wert Null enthält

Das AND an P₀ sorgt dafür, dass nach dem ersten Addierdurchlauf P₀ von da an mit 0 gesetzt wird.

Das Addierwerk benötigt im ungünstigsten Fall (worst-case) n+1 Takte; die Erfahrung der Praxis zeigt, dass es im Mittel nur $\log _{2}n+1$ sind.

Beispiel 13 + 11:

Schritt	S	U	P_3…0		A_3…0
	0	0	0000_b	0	0000_b
1	1	0	1101_b	13	1011_b	11
2	1	1	0010_b	2	0110_b	22
3	1	1	0100_b	4	0100_b	20
4	1	1	1000_b	8	0000_b	16
5	0	1	0000_b	0	1000_b	24

Subtrahieren

Das XOR macht je nach Zustand des Selektors das Einerkomplement oder lässt das Signal unverändert durch

Die Subtraktion ist mit der Addition eng verwandt und lässt sich durch Vorzeichenwechsel des Subtrahenden in eine Addition umwandeln. Ein Vorzeichenwechsel bei Dualzahlen ermöglicht das Zweierkomplement, umgesetzt als Einerkomplement (invertieren aller Bits) und danach mit 1 addiert (setzen von carry in). Die Erweiterung des Addierwerks zum Addier-/Subtrahierwerk ermöglicht die Vorschaltung von XOR-Verknüpfungen am Eingang des zweiten Operanden. Steht der Wahlschalter auf 1 invertiert das XOR das Eingangssignal und setzt das Carry-In-Bit, hierdurch entsteht das Zweierkomplement und aus der Addition wird eine Subtraktion.

Addition und Subtraktion von Gleitkommazahlen

Viele Prozessoren verfügen über eine Gleitkommaeinheit für Berechnungen mit Kommazahlen. Bei Gleitkommazahlen werden Mantisse und Exponent getrennt verarbeitet. Dazu werden die Exponenten der Zahlen in einem Normierer angeglichen, die Zahlen mit Hilfe eines Addierer/Subtrahierer addiert und schließlich wird das Ergebnis und der neue Exponent in einem Normierer zu einer neuen Gleitkommazahl – dem Ergebnis – verarbeitet.

Normierer, 1. Teil

Zuerst muss der Exponent angeglichen werden. Dazu werden die beiden Exponenten subtrahiert und die Mantisse der Gleitkommazahl mit dem kleineren Exponenten mit einem Schieberegister um die durch die Subtraktion der Exponenten ermittelte Anzahl an Stellen (Bits) verschoben. Dadurch besitzen beide Zahlen denselben (größeren) Exponenten. Der größere Exponent wird über einen Multiplexer anhand des Vorzeichens des bei der Subtraktion entstandenen Wertes (Exponenten-Differenz) ausgewählt und direkt an den Normierer weitergeleitet.

Addierer/Subtrahierer

In der Addierer/Subtrahierer-Stufe arbeitet im Wesentlichen ein Addierer mit vorgeschalteten Invertern an den Eingängen. Die Inverter invertieren (negieren) die Mantisse, wenn das zugehörige Vorzeichenbit der jeweiligen Gleitkommazahl gesetzt ist. Anschließend können die beiden Zahlen addiert werden. Hierbei entsteht die neue Mantisse. Zudem wird das Prioritäts-Bit (Überlauf-Bit) des Addierers gesetzt, wenn die Summe der beiden Mantissen zu groß ist um in der neuen Mantisse gespeichert werden zu können.

Normierer, 2. Teil

Im Normierer wird die Exponenten-Differenz um eins reduziert und das Ergebnis aus der Addierer/Subtrahierer-Stufe um eins nach links verschoben, falls das Prioritäts-Bit gesetzt ist. Anschließend wird das Ergebnis aus der Addierer/Subtrahierer-Stufe zur Mantisse – und die Exponenten-Differenz zum Exponenten – der Ergebnis-Gleitkommazahl.

Weblinks

Entwicklung einer Schaltung für Addition und Subtraktion binärer Zahlen (Memento vom 27. September 2007 im Internet Archive) -- Facharbeit (PDF-Datei; 952 kB)
Schaltalgebra, Boolesche Algebra (Memento vom 20. Dezember 2014 im Internet Archive)