Fortsetzungssatz von Krein

mathematischer Satz

Der Fortsetzungssatz von Krein (englisch Krein's extension theorem) ist ein Lehrsatz des mathematischen Teilgebiets der Analysis, welcher auf eine von dem sowjetischen Mathematiker Mark Grigorjewitsch Krein (1907–1989) im Jahre 1937 vorgelegten Arbeit zurückgeht. Der Krein'sche Fortsetzungssatz gibt eine Antwort auf die Frage, unter welchen Bedingungen Fortsetzungen positiver linearer Funktionale auf reellen Vektorräumen möglich sind, und ist insofern verwandt mit (und dabei sogar herleitbar aus) dem Satz von Hahn-Banach. Wie dieser und andere Fortsetzungssätze der Mathematik stützt sich sein Beweis auf das Lemma von Zorn und benötigt damit die Annahme der Gültigkeit des Auswahlaxioms.[1][2]

Formulierung des Satzes

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Der Fortsetzungssatz von Krein kommt in zwei – miteinander jedoch eng verwandten – Formulierungen vor.

Formulierung nach Neumark

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Die eine Formulierung des Fortsetzungssatzes hat der sowjetische Mathematiker Mark Neumark in seiner Monographie Normierte Algebren vorgelegt:[3]

Gegeben seien ein lokalkonvexer topologischer  -Vektorraum   und darin ein nichtleerer konvexer Kegel   sowie ein linearer Unterraum  .
Der Kegel   möge innere Punkte enthalten und dabei soll   gelten, also mindestens ein Punkt   zugleich Punkt des Unterraums   sein.
Dann gilt:
Jedes auf dem Unterraum   definierte positive lineare Funktional lässt sich zu einem auf dem gesamten Raum   definierten positiven linearen Funktional fortsetzen.
Das heißt: Ist   ein lineares Funktional, welches der Bedingung   für alle   genügt, so existiert dazu stets ein Funktional   mit   für alle   und   für alle  .

Formulierung nach Hewitt/Stromberg

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Eine etwas andere Formulierung des Fortsetzungssatzes von Krein findet man in der Monographie Real and Abstract Analysis der beiden der US-amerikanischen Mathematiker Edwin Hewitt und Karl Robert Stromberg:[1]

Gegeben seien ein  -Vektorraum   und darin ein nichtleerer konvexer Kegel   sowie ein linearer Unterraum  .
Hinsichtlich der Beziehungen zwischen dem Kegel   und den Nebenklassen des Unterraums   soll gelten, dass ein Punkt   der Bedingung   dann und nur dann genügt, wenn für den Spiegelpunkt   die entsprechende Bedingung   gegeben ist.
Dann gilt:
Ein auf dem Unterraum   definiertes positives lineares Funktional lässt sich stets zu einem auf dem gesamten Raum   definierten positiven linearen Funktional fortsetzen.

Unmittelbare Folgerung

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Aus dem Krein'schen Fortsetzungssatz zieht man als unmittelbare Folgerung den folgenden Satz:[4]

Ist   ein konvexer Kegel in einem lokalkonvexen topologischen  -Vektorraum   und ist   ein darin gelegener innerer Punkt, so gibt es stets ein positives lineares Funktional   mit  .

Anmerkung

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Hewitt und Stromberg bezeichnen den Krein'sche Fortsetzungssatz explizit als Krein's extension theorem for nonnegative linear functionals.[5] In diesem Zusammenhang ist zu bemerken, dass man in der analytischen Fachliteratur statt von nichtnegativen linearen Funktionalen (o. ä.) nicht selten auch von positiven linearen Funktionalen (o. ä.) spricht. Gemeint sind in jedem Falle reellwertige lineare Funktionale auf dem gegebenen topologischen Vektorraum, welche die von dem konvexen Kegel induzierte Ordnungsstruktur monoton in die Ordnungsstruktur von   übertragen.

Literatur

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  • Edwin Hewitt, Karl R. Stromberg: Real and Abstract Analysis: A Modern Treatment of the Theory of Functions of a Real Variable (= Graduate Texts in Mathematics. Band 25). 3. Auflage. Springer-Verlag, New York, Heidelberg, Berlin 1975, ISBN 0-387-90138-8 (MR0367121).
  • M. G. Krein: Über positive additive Funktionale in linearen normierten Räumen (ukrainisch). In: Comm. Soc. Math. Charkow. Band 14, 1937, S. 227–237.
  • M. G. Krein, Mark A. Rutman: Linear operators leaving invariant a cone in a Banach space. In: Amer. Math. Soc. Translation. Band 1950, 1950 (MR0038008).
  • Mark Neumark: Normierte Algebren. Verlag Harri Deutsch, Thun und Frankfurt / Main 1990, ISBN 3-8171-1001-4.

Einzelnachweise

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  1. a b Edwin Hewitt, Karl R. Stromberg: Real and Abstract Analysis. 1975, S. 219–220
  2. Mark Neumark: Normierte Algebren. 1990, S. 84–85
  3. Neumark, op. cit., S. 84
  4. Neumark, op. cit., S. 85
  5. Hewitt/Stromberg , op. cit., S. 220