Typ und Kotyp eines Banach-Raumes

Typ und Kotyp eines Banach-Raumes sind eine Klassifikation von Banach-Räumen und ein Maß um zu messen, wie weit ein Banach-Raum von einem Hilbert-Raum entfernt ist.

Ausgangspunkt ist die pythagoreische Identität eines Hilbert-Raumes. In einem Hilbert-Raum gilt für orthogonale Vektoren $(e_{k})_{k=1}^{n}$ die Identität

$\left\|\sum _{k=1}^{n}e_{k}\right\|^{2}=\sum _{k=1}^{n}\left\|e_{k}\right\|^{2}.$

Dies ist in allgemeinen Banach-Räumen nicht mehr der Fall. Die Orthogonalität wird in der Definition mit Hilfe von Rademacher-Zufallsvariablen formuliert, deshalb spricht man auch von Rademacher-Typ und Rademacher-Kotyp.

Der Begriff geht zurück auf den französischen Mathematiker Jean-Pierre Kahane.

Definition

Sei

• $(X,\|\cdot \|)$ ein Banach-Raum,
• $(\varepsilon _{i})$ eine Folge von unabhängigen Rademacher-Zufallsvariablen, das heißt $P(\varepsilon _{i}=-1)=P(\varepsilon _{i}=1)=1/2$ sowie $\mathbb {E} [\varepsilon _{i}\varepsilon _{m}]=0$ für $i\neq m$ (Orthogonalität) und $\operatorname {Var} [\varepsilon _{i}]=1$.

Typ

$X$ ist vom Typ $p$ mit $p\in [1,2]$, falls eine endliche Konstante $C\geq 1$ existiert, so dass

$\mathbb {E} _{\varepsilon }\left[\left\|\sum \limits _{i=1}^{n}\varepsilon _{i}x_{i}\right\|^{p}\right]\leq C^{p}\left(\sum \limits _{i=1}^{n}\|x_{i}\|^{p}\right)$

für alle endlichen Folgen $(x_{i})_{i=1}^{n}\in X^{n}$. Die beste Konstante $C$ nennen wir Type-$p$-Konstante und notieren sie mit $T_{p}(X)$.

Kotyp

$X$ ist vom Kotyp $q$ mit $q\in [2,\infty ]$, falls eine endliche Konstante $C\geq 1$ existiert, so dass

$\mathbb {E} _{\varepsilon }\left[\left\|\sum \limits _{i=1}^{n}\varepsilon _{i}x_{i}\right\|^{q}\right]\geq {\frac {1}{C^{q}}}\left(\sum \limits _{i=1}^{n}\|x_{i}\|^{q}\right),\quad {\text{wenn}}\;2\leq q<\infty$

respektive

$\mathbb {E} _{\varepsilon }\left[\left\|\sum \limits _{i=1}^{n}\varepsilon _{i}x_{i}\right\|\right]\geq {\frac {1}{C}}\sup \|x_{i}\|,\quad {\text{wenn}}\;q=\infty$

für alle endlichen Folgen $(x_{i})_{i=1}^{n}\in X^{n}$. Die beste Konstante $C$ nennen wir Kotyp-$q$-Konstante und notieren sie mit $C_{q}(X)$.

Erläuterungen

Durch ziehen der $p$-ten resp. $q$-ten Wurzel erhält man die Gleichung für die (Bochner)-$L^{p}$-Norm.

Eigenschaften

• Die Gleichung lässt sich auch verkürzt mit der Bochner-Lebesgue-Norm schreiben.
• Jeder Banach-Raum ist von Typ $1$ (folgt aus der Dreiecksungleichung).

Ein Banach-Raum:

• ist von Typ $2$ und Kotyp $2$ genau dann, wenn er isomorph zu einem Hilbert-Raum ist, dann gilt die pythagoreische Identität.
• der vom Typ $p$ ist, ist auch vom Typ $p'\in [1,p]$.
• der vom Kotyp $q$ ist, ist auch vom Kotyp $q'\in [q,\infty ]$.
• der vom Typ $p$ (mit $1<p\leq 2$) ist, besitzt einen Dualraum $X^{*}$ vom Kotyp $p^{*}$, wobei $p^{*}$der konjugierte Index $p^{*}:=(1-1/p)^{-1}$ ist. Weiter gilt $C_{p^{*}}(X^{*})\leq T_{p}(X)$

In Banach-Räumen vom Typ $2$ gilt eine Version des zentralen Grenzwertsatz, wie von Jørgen Hoffmann-Jørgensen und Gilles Pisier gezeigt wurde.

Beispiele

• Die $L^{p}$-Räume für $p\in [1,2]$ sind vom Typ $p$ und vom Kotyp $2$, das heißt $L^{1}$ ist vom Typ $1$, $L^{2}$ ist vom Typ $2$ usw.
• Die $L^{p}$-Räume für $p\in [2,\infty )$ sind vom Typ $2$ und vom Kotyp $p$.
• $L^{\infty }$ ist vom Typ $1$ und vom Kotyp $\infty$.

Literatur

• Daniel Li und Hervé Queffélec: Introduction to Banach Spaces: Analysis and Probability. In: Cambridge University Press (Hrsg.): Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 2017, S. 159–209, doi:10.1017/CBO9781316675762.009. 
• Joseph Diestel: Sequences and Series in Banach Spaces. Hrsg.: Springer New York. 1984. 
• Laurent Schwartz: Geometry and Probability in Banach Spaces. Hrsg.: Springer Berlin Heidelberg. 2006, ISBN 978-3-540-10691-3. 
• M. Ledoux und M. Talagrand: Probability in Banach Spaces. In: Springer (Hrsg.): Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Band 23. Berlin, Heidelberg 1991, doi:10.1007/978-3-642-20212-4_11.