Quantenmechanik/ Pfadintegral

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Lagrange-Formalismus

Vor der Quanten-Revolution hatte die Physik ein prinzipiell deterministisches Modell sowohl für Bahnen von kleinen Objekten wie für Felder. Eine Teilchenbahn ${\vec {x}}(t)$ hatte eine Differenzialgleichung derart, dass bei vorgegebenen Werten $\{t_{0},{\vec {x}}(t_{0}),{\frac {d}{dt}}{\vec {x}}(0)\}$ die Fortsetzung in der Zeit eindeutig berechenbar ist.

Ein ideales System von Feldern $\{F_{i}(x_{k})\};\;i=1...m;\;x_{k}=(t=x_{0},{\vec {x}},...)$ hatte einen Satz von partiellen Differenzialgleichungen $S(F(x),\partial _{k}F(x),\partial _{j}\partial _{k}F(x))=0$, so dass die Vorgabe von Anfangsbedingungen, also der Werte und der Ableitungen auf einer Zeitscheibe $t=t_{0}$, ausreicht, um mit Integration die Feldwerte eindeutig in die Zukunft fortzusetzen.

Eine Teilchenbahn ist ein Spezialfall vom Feldbegriff. Es ist ein Vektorfeld, dessen Definitionsbereich nur eine Dimension hat, nämlich die Zeit.

Die Bahngleichungen und Feldgleichungen aller relevanten Modelle konnten als Variationsprinzipien oder "Prinzipien der kleinsten Wirkung" verpackt werden. Mit dem Lagrange-Formalismus und dem eng verwandten Hamilton- Formalismus können daher viele Aspekte einheitlich behandelt werden. Einer der wichtigsten ist der Zusammenhang zwischen Symmetrien und Erhaltungssätzen, den die Mathematikerin Emmy Noether gefunden hat.

Vorteil ist auch, dass die Kopplung von Feldern automatisch die Wechselwirkung für beide Seiten abgibt. Zum Beispiel, wie ein elektromagnetisches Feld auf eine Ladungswolke einwirkt und wie umgekehrt die Ladung ein Feld verändert. Oder wie eine Massenverteilung von der Gravitation gezogen wird und wie umgekehrt die Massen ein Schwerefeld erzeugen.

Die Menge der m-dimensionalen Felder auf n Raumzeit-Dimensionen sei also ein Vektorraum von Funktionen $F:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$, die genügend oft differenzierbar sind und die genügend schnell abfallen, wenn eine Koordinate des Definitionsbereichs gegen Unendlich wandert. Eine Wirkung $A(F)$ ist ein (möglicherweise hochgradig nichtlineares) reellwertiges Funktional, das sich als Integral einer Dichtefunktion $L:\;\mathbb {R} ^{(n+m+nm+..)}\to \mathbb {R}$ darstellt: $A(F)=\int d^{n}x\;L(x,F(x),\partial _{i}F(x),\partial _{i}\partial _{k}F(x)).\;A(F)$ ist die Summe von rein lokalen Bestandteilen; an jedem Punkt x gehen nur die Werte $F(x)$ und alle möglichen Ableitungen am selben Punkt x ein. L heißt die Lagrange-Dichte der Wirkung.

Ein Extremalprinzip oder Prinzip der stationären Wirkung fordert, dass nur solche Felder F physikalisch zulässig sind (oder außerhalb der Physik, irgendwelche mathematischen Probleme lösen), deren Wirkung A(F) ein Extremum ist. Ob Minimum, Maximum, Sattelpunkt, wird nicht unbedingt vorgegeben. Konkret, wenn das Feld F(x) mit gleich welchen Testfeldern f(x) verformt wird, $F_{s}(x)=F(x)+sf(x),\;s\;$ reell in einem Intervall um 0, dann muss gelten: ${\frac {d}{ds}}|_{s=0}A(F_{s})=0$.

Daraus werden die Euler-Lagrange-Differenzialgleichungen folgen. Es ist kein Wunder, dass rein lokale Gleichungssysteme hier äquivalent sind zu einem globalen Extremalprinzip, denn per Konstruktion ist A(F) die Summe über etwas rein Lokales. Mit Summenkonvention für doppelte Indizes $j=1..m,\;i,k=1..n$ in den Termen:

$0={\frac {d}{ds}}|_{s=0}\int d^{n}x\;L(F+sf,\partial _{i}(F+sf),\partial _{i}\partial _{k}(F+sf))=\int d^{n}x\left[{\frac {\partial L}{\partial F_{j}}}f_{j}+{\frac {\partial L}{\partial (\partial _{i}F_{j})}}\partial _{i}f_{j}+{\frac {\partial L}{\partial (\partial _{i}\partial _{k}F_{j})}}\partial _{i}\partial _{k}f_{j}\right]$

Sowohl Funktionen $F_{j}$ wie $f_{j}$ gehen bei Unendlich gegen Null und man kann durch partielle Integration die Ableitungen von f auf die von den Faktoren davor überwälzen. Bei einer Ableitung mit Minus, bei zweien mit Plus (doppelt partielle Integration). Ergibt:

$0=\int dx\;f_{j}(x)\left[{\frac {\partial L}{\partial F_{j}}}-\partial _{i}\left({\frac {\partial L}{\partial (\partial _{i}F_{j})}}\right)+\partial _{i}\partial _{k}\left({\frac {\partial L}{\partial (\partial _{i}\partial _{k}F_{j})}}\right)\right]$

Wie üblich schließt man aus der Beliebigkeit von $f_{j}$, dass der Ausdruck in eckigen Klammern für alle Punkte x und alle Feldvariablen j Null sein muss. Diese m Differenzialgleichungen sind die Euler-Lagrange-Gleichungen.

Man nennt den Ausdruck in der eckigen Klammer mit Nummer j am Punkt x auch die Variation des Funktionals bezüglich $F_{j}(x)$, oder auch die erste Funktionalableitung von A, geschrieben etwa: $(A')_{j}(x)={\frac {\delta A}{\delta F_{j}(x)}}$.

Die Variation funktioniert wie der Beginn einer Taylorreihe; es ist die lineare Approximation: $A(F+f)=A(F)+\int d^{n}x\;f_{j}(x)(A')_{j}(x)$. Die Reihe geht weiter mit multiplen Integralen und wiederholten Variationen an der Funktional-Dichte L. Ein allgemeines Funktional wird so entwickelt in multilineare, symmetrische (partielle Ableitungen vertauschen!) Integralkerne.

$A(F+f)=A(F)+\int dx\;f_{i}(x){\frac {\delta A}{\delta F_{i}(x)}}+\int dx\;dy\;(1/2)f_{i}(x)f_{k}(y){\frac {\delta ^{2}A}{\delta F_{i}(x)\;\delta F_{k}(y)}}$

$+\int dx\;dy\;dz\;(1/3!)f_{i}(x)f_{k}(y)f_{l}(z){\frac {\delta ^{3}A}{\delta F_{i}(x)\;\delta F_{k}(y)\;\delta F_{l}(z)}}+...$

Vorgreifende Warnung: Fermionen sind antisymmetrisch in N-Punkt-Termen, wären sie also nicht mit solchen Funktional-Techniken vereinbar? Da kennt man die Physiker schlecht. Sie haben notgedrungen Felder mit Werten in einer Grassmann-Algebra erfunden, samt der zugehörigen Integral- und Differenzialrechnung für den Funktionalkalkül. Damit sind auch antisymmetrische N-Punkt-Entwicklungen Routine.

Es gibt also m Eulersche Differenzialgleichungen für ein System aus m Feldern. Bei idealen Systemen kann unter den Koordinaten von x eine als die "Zeit" ausgewählt werden, so dass jede Feldkomponente mit einer ersten Ableitung nach der Zeit auftaucht. Dann kann im Prinzip mit beliebigen Anfangsbedingungen von einer (t=0)-Hyperebene aus in Zeitrichtung integriert werden, zum Beispiel numerisch. Nach jedem Schritt vorwärts in t berechnet man auf der neuen Hyperebene mit Hilfe der anderen Ableitungen, was die neuen Zeitableitungen für den Schritt danach sind.

Hat man weniger linear unabhängige Zeitableitungen als Feldvariablen, dann besteht Eichfreiheit. Man kann die Fortsetzung einiger Komponenten gemäß einer Eich-Vorschrift auswählen. Zum Beispiel betrifft so etwas das Vierer-Vektorpotenzial bei den Maxwell-Gleichungen, oder das metrische Tensor-Potenzial in der allgemeinen Relativität. Letztere glänzt durch die totale Willkür bei der Wahl von Raumzeit-Koordinaten; die Eichung besteht wohl darin, festzulegen, wie man sein Koordinatensystem fortsetzt. Die Idee bei den Modellen mit Eichfreiheit ist nicht, dass der Determinismus flöten geht und das Problem unterbestimmt ist! Die Idee besagt vielmehr, dass in der Beschreibung aus praktischen Gründen überflüssige Koordinaten herumgeistern und dass alle eich-äquivalenten Parameterwahlen haargenau die selbe Physik darstellen. Messbare Ergebnisse müssen eichinvariant sein.

Homogene lineare Feldgleichungen entstehen, wenn die Lagrange-Dichte eine rein quadratische Form in Feldvariablen und deren Ableitungen ist. In der Physik ist das so bei der Schrödinger-Gleichung, den Maxwell-Gleichungen, der Dirac-Gleichung. Interessant nichtlinear wird es mit Termen höherer Ordnung, so bei Einstein-Gleichungen, nicht-abelschen Eichtheorien, Kopplung vom Elektromagnetismus ans Dirac-Feld, Higgs-Feldern, und so fort.

Beispiel. Die Newtonsche Teilchenbahn $x(t):\;m{\ddot {x}}+dV/dx=0$. Gesucht wird eine passende Lagrange-Gleichung und ein $L(x,{\dot {x}},t)$. Dies ist der Spezialfall n=m=1, kein ${\ddot {x}}$ in L:

$(d/dt)({\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}})-{\frac {\partial L}{\partial x}}=0,\quad$ (Vorzeichen von L ist irrelevant).

Offenbar hat L einen Potenzialterm $(-V(x))$ nötig. Für den kinetischen Term funktioniert die quadratische Form $T=(m/2)({\dot {x}})^{2}$ sofort.

Fertig, $L(x,{\dot {x}})=T-V=(m/2){\dot {x}}^{2}-V(x)$.

Die erlaubten Bahnen von Punkt A=x(0) nach Punkt B=x(T) sind die Extremalen des Zeitintegrals $\int _{0}^{T}dt\;L(x(t),{\dot {x}}(t))$ bei festgehaltenen Endpunkten.

Hamilton-Formalismus

Die Wahl einer privilegierten Zeitachse im Definitionsbereich kann mehr. Wenn unliebsame zweite Zeitableitungen der Felder F auftauchen, kann der Hamilton-Formalismus eingreifen. Damit werden konjugierte Variablen, nennen wir sie G, zu den F-variablen eingeführt, so dass das System aus F und G zusammen nur erste Zeitableitungen hat. Die konjugierten Variablen sind über Kreuz gekoppelt, mit einem Hamilton-Funktional H auf jeder Zeitscheibe. Die Zeitableitung der $F_{j}$ ist die Variation von H bezüglich $G_{j}$, und umgekehrt modulo Vorzeichen. (Wenn wir von Anfang an nur erste Ableitungen hatten, dann finden sich konjugierte Paare in den schon vorhandenen Feldvariablen F wieder).

Zuerst wird die Konstruktion am einfachen Pfad $x(t)$ gezeigt. Gegeben sei die Dichte $L(x,{\dot {x}},t)$. Man definiert das Variablenpaar $(q,p)=(x,\partial L/\partial {\dot {x}}))$. Im ersten Anlauf soll L nicht explizit von t abhängen. $p=p(x,{\dot {x}})=p(q,{\dot {q}})$ soll nun, und das ist wichtig, eine Umkehrfunktion haben für ${\dot {q}}:\;{\dot {q}}=r(p,q)$. Aus der Euler-Lagrange-Gleichung folgt noch: ${\dot {p}}={\frac {d}{dt}}(\partial L/\partial {\dot {q}})=-\partial L/\partial q$, wenn $(p(t),q(t))$ ein Extremalpfad ist.

Jetzt fällt die Hamiltonfunktion vom Himmel, mit ihren partiellen Ableitungen:

$H(q,p):={\dot {q}}p-L=r(p,q)p-L(q,r(p,q))$

$\partial H/\partial p=(\partial r/\partial p)p+{\dot {q}}-(\partial L/\partial {\dot {q}})(\partial r/\partial p)={\dot {q}}$

$\partial H/\partial q=(\partial r/\partial q)p-(\partial L/\partial q)-(\partial L/\partial {\dot {q}})(\partial r/\partial q)=-{\dot {p}}$

Ergebnis: In dem kanonisch konjugierten Variablenpaar $(q,p)$ haben die Bewegungsgleichungen mit der Hamiltonfunktion H(q,p) die schief-symmetrische (symplektische) Form:

$\{{\dot {q}}=(\partial H/\partial p);\quad {\dot {p}}=-(\partial H/\partial q)\}\quad$ mit nur der ersten Zeitableitung.

Direkte Folgerung: H ist entlang von Lösungsbahnen eine Konstante.

$(d/dt)H(q,p)=(\partial H/\partial q){\dot {q}}+(\partial H/\partial p){\dot {p}}=0.$

Es ist H die erhaltene Energie bei konservativen Kräften.

Beispiel

$L=(m/2){\dot {x}}^{2}-V(x);\;q=x;\;p=m{\dot {x}}=m{\dot {q}};\;H(q,p)=m({\dot {x}})^{2}-L=p^{2}/(2m)+V(q)$.

H ist die Summe von kinetischer und potenzieller Energie.

Verallgemeinerung auf Felder. Sei $x_{0}$ die privilegierte Koordinate, und sei $Q(x)$ ein Feld mit extremaler Wirkung,

$0={\frac {\partial L}{\partial Q_{i}}}-\partial _{k}{\frac {\partial L}{\partial (\partial _{k}Q_{i})}}$.

Index-Gebrauch im Folgenden: (i,j) nummerieren Feldkomponenten, (k,m,n) Definitionsbereich-Koordinaten. Dabei meint k alle, m,n alle außer 0, der Zeitkoordinate mit Sonderbehandlung.

Definiere $P_{i}=\partial L/\partial (\partial _{0}Q_{i})=P_{i}(Q_{j},\partial _{0}Q_{j},\partial _{m}Q_{j})$.

Euler-Gleichung: $\partial _{0}P_{i}=(\partial L/\partial Q_{i})-\partial _{m}(\partial L/\partial (\partial _{m}Q_{i}))$

Analog zum eindimensionalen Fall fordert man eine Umkehrfunktion: $\partial _{0}Q_{i}(x)=R_{i}(P(x),Q(x))$. Eine Hamilton-Dichte wird definiert:

$h(Q,P;\partial _{m}Q)=\sum (\partial _{0}Q_{i})P_{i}-L=\sum R_{i}(P,Q)P_{i}-L(Q_{i},\partial _{m}Q_{i},R(P,Q))$.

Das Integral von $h$ über Zeitscheiben t=const, nicht über den ganzen Raum!, nennen wir das Hamilton-Funktional $H(Q,P)$. $h$ hängt nicht von $\partial _{m}P$ ab, aber von $\partial _{m}Q$ über den Term (-L).

$(\partial h/\partial Q_{i})=\sum _{j}(\partial R_{j}/\partial Q_{i})P_{j}-\partial L/\partial Q_{i}-(\partial L/\partial \partial _{0}Q_{j}))$

$(\partial R_{j}/\partial Q_{i})=-\partial _{0}P_{i}-\partial _{m}(\partial L/\partial _{m}Q_{i}))$

Wenn der letzte Term auf die linke Seite verfrachtet wird, dann erhält man genau die Form einer Funktionalableitung von h nach der Variablen $Q_{i}$, in der die Null-Koordinate fehlt. Das heißt, es ist die Ableitung des Funktionals H das durch Integration von $h(Q,P)$ über die Zeitscheibe t=const entsteht. Es bleibt:

• $\delta H/\delta Q_{i}(x)=-\partial _{0}P_{i}(x)$

$\partial h/\partial P_{i}=\sum _{j}(\partial R_{j}/\partial P_{i})P_{j}+\partial _{0}Q_{i}-(\partial L/\partial (\partial _{0}Q_{j}))(\partial R_{j}/\partial P_{i})=\partial _{0}Q_{i}$

Weil h von keinem $\partial _{m}P_{i}$ abhängt, ist auch dieses die Funktionalableitung:

• $\delta H/\delta P_{i}(x)=\partial _{0}Q_{i}(x)$

Ergebnis: Mit einer ausgezeichneten Zeitkoordinate definiert man ein Hamilton-Funktional auf den Hyperebenen (oder Zeitscheiben) t=const. Dessen Funktionalableitungen produzieren die Differenzialgleichungen erster Ordung in der Zeit für die Paare von konjugierten Feldvariablen.

Das Funktional H ist konstant, wenn $(Q,P)$ die Hamilton-Gleichungen löst. Denn allgemein für eine Ein-Parameter-Schar von Feldern $(Q,P)(t)$ mit dem Funktional H, dessen Dichte $h$ keine explizite Zeitabhängigkeit hat:

$\partial _{0}H=(d/dt)H(Q,P)=\int d^{n-1}x\;[(\delta H/\delta Q_{i}(x)){\dot {Q}}_{i}(x)+(\delta H/\delta P_{i}(x)){\dot {P}}_{i}(x)]$.

Beispiel. Die Schrödinger-Gleichung ist auf Anhieb in Hamilton-Form, ohne über den Umweg Lagrange zu gehen. Real-und Imaginaärteil sind konjugierte Felder.

$i{\dot {\Psi }}=-a\Delta \Psi +b(x)\Psi$; schreibfaule Koeffizienten a,b.

In Komponenten $\Psi =R+iI;\;(d/dt)(iR-I)=(-a\Delta +b)(R+iI)$.

Seien R' und I' die Ortsableitungen von R und I.

${\dot {R}}=-a\Delta I+bI=(d/dI)(bI^{2}/2)-a(d/dx)(d/dI')(I'^{2}/2)={\frac {\delta H}{\delta I}}$

${\dot {I}}=+a\Delta R-bR=-(d/dR)(bR^{2}/2)+a(d/dx)(d/dR')(R'^{2}/2)=-{\frac {\delta H}{\delta R}}$

Mit (R,I) als (P,Q) identifiziert, lautet die Hamilton-Funktionaldichte

$h(P,Q)=(b/2)(P^{2}+Q^{2})+(a/2)(P'^{2}+Q'^{2})$.

Das Hamilton-Funktional ist bis auf Normierung gleich dem Erwartungswert des Hamilton-Operators.

Bemerkung: Man kann auch gleich alles in $\Psi ^{*}$ und $\Psi$ schreiben. Bei der Differenzial- Rechnung etwa auf Polynomen in komplexen Variablen und ihren Konjugierten ganz allgemein, kann man diese Paare als unabhängige Variablen behandeln. Man kriegt die selben Ergebnisse, als wären sie zuerst aufgespalten in Real- und Imaginärteil. Ausführliches Beispiel weiter unten.

Symmetrien, Satz von Noether

Die Noetherschen Resultate haben mehr Tragweite als die Spezialfälle, die im Schnupperkurs hier Einzug halten. Ein System von Feldern $F(x)=\{F_{i}(x_{k})\}$ mit Lagrangedichte $L(F,\partial _{k}F)$ und Feldgleichungen $\delta A(F)/\delta (F_{i}(x))=0$ hat eine Symmetrie, wenn es eine Gruppe von Transformationen gibt, die Lösungen in Lösungen überführt. Transformation meint eine umkehrbare Abbildung des Definitionsbereichs oder des Wertebereichs der Felder oder beider zugleich. Zum Beispiel, bei Drehungen wird x mit einer Rotationsmatrix R transformiert. Ein Feld F(x), dessen Komponenten Spinoren sind, wird synchron mit einer Darstellungsmatrix D verformt.

Punkt $(x,F(x))$ geht über in $(R(x),D(F(x))).\;G(x)=D(F(R^{-1}x))$ ist das transformierte Feld.

Eine Symmetrie sei definiert als die Forderung, dass die Wirkung sich nicht ändert: $A(G)=A(F)$ für alle Transformationen aus einer Gruppe und für alle Felder, nicht nur für die Lösungen der Euler-Gleichungen. Wenn zum Beispiel die Lagrange-Dichte nicht explizit von den x-Koordinaten abhängt, also $L=L(F(x),\partial _{k}F(x))$ an Stelle von $L(x,F(x),\partial _{k}F(x))$, dann sind die Translationen $(x,F(x))\mapsto (x+y,G(x+y)=F(x))$ Symmetrien. Denn das Integralmaß $d^{n}x$ ist invariant, die Lagrangedichte wird unverändert einfach um den Vektor y verschoben, und die Integranden verschwinden schnell genug für $|x|\to \infty$.

Hier sei einschränkend verlangt, dass die Transformationen eine glatte Ein-Parameter-Familie $T(t)$ bilden (t ist nicht die Zeit, sondern dimensionslos reell) und $T(0)$ die Identität ist. $T(t)$ agiert auf dem kartesischen Produkt aus Definitions- und Wertebereich der Felder. Es wird gefordert, dass das Wirkungsfunktional invariant ist für alle glatten Felder $F(x)$.

Sei $T(t)$ eine glatte Schar

$T(t):\;(x,F(x))\mapsto \;(R(t)x,G(t,R(t)x):=D(t)[F(x)])$

mit $T(0)(x,F)=(x,F)$. Die Jacobi-Matrix aller $R(t)$ habe Determinante 1. Dann variiert die Wirkung mit t:

$A(t,F)=\int d^{n}x\;L(G(t,x),\partial _{k}G(t,x))$ mit $G(t,x)=D(t)F(R(t)^{-1}(x))$.

Die Symmetrie bedeutet $(d/dt)|_{t=0}A(t,F)=0$.

Um es so einfach wie möglich zu machen, wird stärker noch angenommen, dass die Lagrangedichte sich unverändert zum neuen Ort verschiebt, bis auf vielleicht einen leicht berechenbaren Term vom Typ totale Divergenz $\partial _{k}H^{k}(t,x)$. Solche Parasiten tragen Null zur Wirkung bei. Auch soll das Integralmaß sich volumentreu transformieren. Zusammengefasst, eine Schar von Transformationen $T(t)$ bewegt jedes Quadrupel so:

$(x,F,L,d^{n}x)\mapsto (R(t,x),\;G=D(t,F(x),x),\;L(G)=L(F),\;d^{n}x)$.

Der Wert von L am Punkt $y=R(t)^{-1}x$ vor der Transformation, mit dem dortigen $F(y)$, soll bei x und bei Anwendung von $D(t)$ im Wertebereich ankommen.

$G(t,x)=D(t,F(R(t)^{-1}(x)))$ ist die Feld-Schar mit konstanter Lagrangedichte.

$(d/dt)\;L(G(t,x),\partial _{k}G(t,x))=0$. Setze ${\dot {G}}_{i}(x)=(d/dt)|_{t=0}G_{i}(t,x)$.

Mit Anwendung der Produktregel:

$0=(\partial L/\partial G_{i}){\dot {G}}_{i}+(\partial L/\partial (\partial _{k}G_{i}))(\partial k{\dot {G}}_{i})=[\partial L/\partial G_{i}-\partial _{k}(\partial L/\partial (\partial _{k}G_{i})]{\dot {G}}_{i}+\partial _{k}[(\partial L/\partial (\partial _{k}G_{i})){\dot {G}}_{i}]$.

Am Auswertungspunkt $t=0$ ist $G_{i}=F_{i}$, das gegebene Feld. Wenn das Feld F ein Extremalfeld der Wirkung ist, dann verschwindet die erste eckige Klammer und die Gleichung besagt, dass die zweite eckige Klammer eine Divergenz eines Vektorfeldes ist.

Einfachster Fall, nur im Wertebereich tut sich was. Es gibt eine Feld-Familie $F(t,x)$ mit invarianter Lagrangedichte, und alle lösen die Euler-Gleichung. Es gilt mit Summenkonvention: $0={\frac {d}{dt}}|_{t=0}L(F(t,x),\partial _{k}F(t,x))=(\partial L/\partial F_{i}){\dot {F}}_{i}+(\partial L/\partial (\partial _{k}F_{i}))\partial _{k}{\dot {F}}_{i}$. Der erste Term wird $\partial _{k}(\partial L/\partial (\partial _{k}F_{i}){\dot {F}}_{i}$, wenn F die Gleichungen löst. Beide zusammen sind dann die totale Divergenz

$\partial _{k}[(\partial L/\partial (\partial _{k}F_{i})){\dot {F}}_{i}]=\partial _{k}J_{k}=0$.

Ist etwa $F(t,x)=D(t)F(x)$ eine lineare Ein-Parameter-Lie-Gruppe angewandt auf $F(x)$, dann wird ${\dot {F}}=AF(x)$ zur Anwendung einer Matrix A aus der Lie-Algebra.

Das Verschwinden der Divergenz des Vektorfeldes $J_{k}$, das aus $F_{i}$ und seinen Ableitungen kombiniert wird, ist ein Erhaltungssatz. Mit einer privilegierten Zeitkoordinate: $\partial _{0}J_{0}+{\vec {\nabla }}{\vec {J}}=0.\;J_{0}$ ist eine 'Ladungsdichte' und der Raumvektor ${\vec {J}}$ eine 'Stromdichte'. Es ist eine Kontinuitätsgleichung, die aussagt, dass die Divergenz des Stromes nur durch den Ab- oder Zufluss von einer Ladung entstehen kann. Die Ladung in einem Volumen ändert sich wie das Integral des Stromes über die Oberfläche. Noethers Theorem besagt, dass unter sehr allgemeinen Bedingungen jede Gruppe von Symmetrien eine erhaltene Größe definiert. In Form einer Kontinuitäts-Differentialgleichung, sowie äquivalent als eine Flächen/Volumen-Integralgleichung über verallgemeinerte Dichten und Ströme.

Physikalisch: Invarianz unter Zeitverschiebung ist Energie-Erhaltung, Invarianz unter Ortsverschiebung ist Impuls-Erhaltung, Invarianz unter Drehungen ist Drehimpuls-Erhaltung, Invarianz unter Phasendrehung im Wertebereich ist Ladungserhaltung, ...

Nun zur Transformation aller Koordinaten zusammen. Die Feld-Familie sei $G(t,x)=D(t,F(T(t,x)))$ wo $D(t)$ auf den Wertebereich und $T(t)$, wie oben $=R(t)^{-1}$, auf den Definitionsbereich zugreift. $D(0)$ und $T(0)$ sind Identitäts-Abbildungen. Wenn die Transformation das Integralmaß $(d^{n}x)$ respektiert, bleiben obige Formeln unversehrt. Es ist nur nötig, ${\dot {G}}={\frac {d}{dt}}|_{t=0}G(t,x)$ mit Kettenregel zu entwickeln. Es gibt einen Term ${\dot {D}}(F(x))$ der wie oben die Aktion im Wertebereich kodiert. Dazu eine Kette, auszuwerten bei t=0: $[\partial D/\partial F][\partial F/\partial x]({\dot {T}}(x))$. Der erste Faktor ist die Einheitsmatrix, der dritte ist zum Beispiel linear wie eine infinitesimale Drehung $T_{kl}x_{l}.\;{\dot {G}}$ wäre dann vom Stil $(\partial _{k}F(x))T_{kl}x_{l}$. Typisch das, was ein Bahndrehimpuls-Operator auf Wellenfeldern macht. Addiert zum Spin-Operator ${\dot {D}}$ vom ersten Term, folgt ein Gesamt-Drehimpuls. Im Prinzip steht hier der Algorithmus für alle Erhaltungsgrößen, die aus Symmetrien folgen.

Für lineare Feldgleichungen, also bei quadratischer Form der Lagrange-Dichte, und für Symmetrien, die Feldkoordinaten linear abbilden, ist das erhaltene Vektorfeld $J_{i}$ offenbar auch eine quadratische Form in den Feldern. Bei der Schrödinger-Gleichung fallen nach diesem Muster an das Betragsquadrat als Orts-Wahrscheinlichkeitsdichte und diverse Erwartungswerte von Operatoren. Die Born-Regel wird praktisch vom Superpositions-Prinzip kombiniert mit dem Noetherschen Satz erzwungen.

Lagrangedichte der Schrödinger-Gleichung

Zwei reelle Variablen $\psi =P+iQ$ stecken in der Wellengleichung für $(P,Q)=\psi ({\vec {x}},t)$:

$i\hbar (d/dt)\psi =-\hbar ^{2}/(2m)\Delta \psi +V({\vec {x}})\psi$

$(d/dt){\binom {-Q}{P}}=-u\Delta {\binom {P}{Q}}+v(x){\binom {P}{Q}};\;u=\hbar /(2m);\;v=V/\hbar$.

Eine passende Lagrange-Dichte ist quadratisch in den Feldern.

$L(P,Q,\;\partial _{t}P,\partial _{t}Q,\;\nabla P,\nabla Q)=(1/2)[u((\nabla P)^{2}+(\nabla Q)^{2})+v(P^{2}+Q^{2})+(P\partial _{t}Q-Q\partial _{t}P)]$

Zweite Ableitungen kommen von symmetrischen Termen in L, erste Ableitungen brauchen ein schief-symmetrisches Paar. L ist invariant bei Zeitverschiebung und bei der Drehung von $(P,Q)$, das heißt bei Multiplikation von $\psi$ mit einem Phasenfaktor. Für freie Wellen, $V=0$, ist auch die Verschiebung im Raum eine Symmetrie der Lagrangedichte.

Ein Blick auf die erhaltenen Noether-Dichten. Es sind dies Skalarprodukte der 'infinitesimalen ${\dot {G}}$' mit dem Zweiervektor $(\partial L/\partial (\partial _{t}P),\partial L/\partial (\partial _{t}Q))=(-Q,P)$ der kanonisch konjugierten Felder. Wegen der Struktur der Schrödinger-Gleichung sind die Konjugierten einfach nur Kopien der vorhandenen Komponenten.

Aus der Phasendrehung $(P\cos z-Q\sin z,P\sin z+Q\cos z)$ macht $(d/dz)|_{z=0}$ den Zweiervektor $(-Q,P)$. Die erhaltene Dichte $Q^{2}+P^{2}=|\psi |^{2}$ ist natürlich die Wahrscheinlichkeitsdichte des Schrödinger-Feldes.

Die Zeitverschiebung $G(z)=(P(t-z),Q(t-z))$ hat den Zweiervektor ${\dot {G}}=(-\partial _{t}P,-\partial _{t}Q)$ und die Noether-Dichte $(Q\partial _{t}P-P\partial _{t}Q)$.

Vergleich mit dem Integranden der Erwartungswerte des Operators $i\partial _{t}$ der Energie (=Hamilton-Operator):

$\psi ^{*}(i\partial _{t}\psi )=(P-iQ)(i\partial _{t}P-\partial _{t}Q)=(-P\partial _{t}Q+Q\partial tP)+i(Q\partial _{t}Q+P\partial _{t}P)$

Das Integral des imaginären Teils verschwindet wegen der Erhaltung von $P^{2}+Q^{2}$. Der reelle Teil ist die Erhaltungsgröße der Zeitverschiebung.

Die Ortsverschiebungen ergeben Noether-Dichten $Q\nabla P-P\nabla Q$. Auch diese sind die schon bekannten Erwartungswerte eines Impuls-Operators $i\nabla .$ Im Integranden $(\psi ^{*}i\nabla \psi )$ steckt wieder ein Imaginärteil $\nabla (P^{2}+Q^{2})$, der sich als Gradient zu Null aufintegriert. Dies umschreibt noch einmal, dass es sich um hermitesche Operatoren handelt. Noether-Dichten der Drehung im Raum werden niemand mehr überraschen, es sind Erwartungswerte der Drehimpuls-Operatoren.

Der Lagrange-Formalismus findet getreu alles wieder, was der Operator-Formalismus aus der Schrödinger-Gleichung auslesen konnte.

Oft umgeht man geschickt die reellen Variablen mit folgendem Trick. Ist eine Funktion $F(z,z^{*})=F(u+iv,u-iv)=f(u,v)$ gegeben, F differenzierbar in den Argumenten z und seinem Konjugierten, dann werden $z,z^{*}$ als unabhängige Variablen beim Differenzieren behandelt. Die Gleichungen nach dieser Regel sind äquivalent zu denen, die mit reellen Variablen aus $f(u,v)$ herauskommen. Denn

${\frac {\partial f}{\partial u}}={\frac {\partial F}{\partial z}}+{\frac {\partial F}{\partial z^{*}}};\quad {\frac {\partial f}{\partial v}}=i({\frac {\partial F}{\partial z}}-{\frac {\partial F}{\partial z^{*}}})$;

${\frac {\partial F}{\partial z}}={\frac {1}{2}}[{\frac {\partial f}{\partial u}}-i{\frac {\partial f}{\partial v}}];\quad {\frac {\partial F}{\partial z^{*}}}={\frac {1}{2}}[{\frac {\partial f}{\partial u}}+i{\frac {\partial f}{\partial v}}]$.

Die (reelle) Schrödinger-Lagrange-Dichte in komplexen Variablen:

$L(\psi ,\partial _{t}\psi ,\nabla \psi )=[u\psi ^{*}\psi +v(\nabla \psi )^{*}(\nabla \psi )-(i/2)(\psi ^{*}\partial _{t}\psi -(\partial _{t}\psi )^{*}\psi )]$

Die Euler-Lagrange-Gleichungen, wo k über die 4 Variablen t,x,y,z summiert:

$(\partial L/\partial \psi )-\partial _{k}(\partial L/\partial (\partial _{k}\psi ))=0\quad \Rightarrow u\psi ^{*}-v\Delta \psi ^{*}+i\partial _{t}\psi ^{*}=0;$

$(\partial L/\partial \psi ^{*})-\partial _{k}(\partial L/\partial (\partial _{k}\psi ^{*}))=0\quad \Rightarrow u\psi -v\Delta \psi -i\partial _{t}\psi =0;$

sind zweimal die Schrödinger-Gleichung.

Feldquantisierung

Über den kanonischen Formalismus führt ein Weg zur Quantisierung von beliebigen Feld-Systemem. Man organisiere das Feld mit Lagrange und Hamilton in Paaren von konjugierten Variablen. Dann verwandle man diese Paare in Operatoren mit Kommutator. Welchen Sinn hat das? So wie die klassische Newton-Gleichung für einzelne Teilchen zur Gleichung für Operatoren im Heisenberg-Bild wird, müsste doch auch die Maxwell-Gleichung auf Feld-Operatoren umgedeutet werden, mit all den unendlich vielen Freiheitsgraden des Feldes. So wie der harmonische Oszillator Zustände mit n gleichen Energiequanten annimmt, müsste jede Elementarwelle des elektromagnetischen Feldes die entsprechenden Quantenzustände mit n gleichen Photonen beschreiben.

Jedem konjugierten Par drückt man die kanonischen Vertauschungsregeln auf, die bei Ort und Impuls im Schrödinger-Bild, im Heisenberg-Bild usw. gelten. Die Feldgleichungen werden umgemünzt zu Gleichungen zwischen Operator- Feldern, ähnlich wie im Heisenberg-Bild eine klassische Differenzialgleichung die Fortbewegung von Orts- und Impulsoperatoren längs der Zeitachse regelt. Nichts gilt strenger in der Quantentheorie als das Superpositionsprinzip. Und so kann man gekoppelte, also nichtlineare, Feldgleichungen nie als Gleichungen für Wellenfunktionen als Zustandsvektoren interpretieren. Sondern als Gleichungen zwischen Operatoren, die eine nicht-kommutative Algebra bilden.

Die Quantenelektrodynamik koppelt zwei elementare Felder, die jeweils in irreduziblen aber nicht-unitären Darstellungen der Poincaré-Gruppe zu Hause sind: das Dirac-Feld und das Maxwell-Feld. Die ungekoppelten Teile der Lagrangedichte sind quadratisch, also die freien Feldgleichungen linear. Die Feldquanten sind die Elektronen, Positronen und Photonen. Ein Term dritter Ordnung, quadratisch im Dirac- und linear im Maxwellfeld, stellt die Eichkopplung der Felder her, also die Wechselwirkung.

Der Hilbert-Raum der Theorie ist ein Fock-Raum und hat unbegrenzte und variable Teilchenzahlen. Im Gegensatz zur nichtrelativistischen Physik sind die Einteilchen-Wellen unbrauchbar als Hilbert-Basis. Erst nach dem Einbau von Erzeugung und Vernichtung der Teilchen (was die Schrödinger-Gleichung nicht tut) kann unitär zwischen Lorentz-Bezugssystemen gewechselt werden.

Anschaulich beschreiben Reihen von Feynman-Diagrammen, wie relativistische Teilchen miteinander reagieren. Es gibt ein Knäuel aus Zwischen-Zuständen mit beliebig vielen virtuellen Teilchen, die an Knotenpunkten verschmelzen oder sich spalten. Es handelt sich dabei um eine Störungsrechnung höherer Ordung, die Beiträge von allen Vielteilchen-Zuständen aus dem Hilbert-Raum bekommt, auch wenn nur zwei Teilchen sich treffen. Sogar freifliegende Teilchen sind in diesem Bild umgeben von einer Wolke aus allen anderen virtuellen Teilchen, an die sie koppeln. Damit sie ihre experimentell richtigen Massen und Ladungen erhalten, wird ein komplizierter Algorithmus der Renormierung gebraucht.

Pfadintegral

Feynman wollte eine einheitliche Grundlage der Quantenphysik herausfinden. Das heißt, der Einteilchen-Mechanik (Schrödinger-Gleichung) genau wie der Quantenfeldtheorie mit ihren unendlich vielen Freiheitsgraden. Von Teilchenbahnen geht die 'Quantisierung' zu Wahrscheinlichkeits-Amplituden über, die Ort-Zeit-Punkte korrelieren. Von klassischen Feldern geht es zu Amplituden, die Feldwerte an N Punkten korrelieren. Bei der Bahnquantisierung ist die klassische Bahn nur ein Grenzfall. Die Quantenamplitude summiert über alle Bahnen, die Lösungen des Wirkungsprinzips und alle anderen. Nur kommen Bahnen umso weniger häufig dran (durch Tunneleffekt), je mehr ihre Wirkung sich vom Extremum entfernt. Bei Quantenfeldern ebenso: alle klassischen Felder, ob Lösungen der Feldgleichungen oder nicht, geben einen Beitrag zu den Quanten-Amplituden. Nur die mit der stationären Wirkung haben das größte Gewicht.

Über den Daumen gepeilt, geht die Intuition so los. x und y seien Punkte in Raum+Zeit, Testfunktionen f,g seien dort konzentriert. Um f(x) mit g(y) zu korrelieren, gäbe es vernünfigerweise ein doppeltes Integral $\int dx\;dy\;f(x)C(x,y)g(y)$. In der Quantenmechanik gilt streng das Superpositionsprinzip. Also wäre $C(x,y)$ eine Summe über die Beiträge von allen Pfaden p von x nach y: $C(x,y)=\sum _{p}C(p,x,y)$. Auf jedem Pfad gilt ein multiplikatives Verhalten: Ist z ein Punkt zwischen x,y, dann $C(p,x,y)=C(p,x,z)C(p,z,y)$. Daher, und weil alles letztendlich unitär sein muss, der Ansatz $C(p,x,y)=\exp(i\int _{x}^{y}dz\;S(p;z))$. Und es funktioniert. S ist einfach die Lagrange-Dichte auf dem Pfad p, geteilt durch das Planck-Quantum. Das Integral ist die Wirkung, die mit ihrer Phase in Planck-Einheiten Einzug hält. Alle Pfade, ob extremal nach Wirkungsprinzip oder nicht, werden gezählt. Um die extremalen Pfade herum variiert die Phase in $C(p,x,y)$ sehr wenig. Deshalb tragen sie am meisten zur Pfadsumme bei. Pfade mit stark variierender Phase interferieren und löschen sich weitgehend aus. Dies macht die klassische Physik zum Grenzfall $\hbar \to 0$ der Quantenmechanik.

Das war die Idee, soweit mit den Händen gewedelt. Nun folgt eine strengere Herleitung des Pfadintegrals.

Herleitung des Funktionalintegrals

Prinzip: Ein Integralkern als Summe über Pfade.

Gegeben sei ein Konfigurationsraum mit m Ortskoordinaten $q=(q_{k})$ und eine reelle Zeitachse. Funktionen f(q,t) sollen eine lineare Differenzialgleichung erfüllen, die von erster Ordnung in der Zeit ist. Lösungen können aus Anfangsbedingungen eindeutig mit einem Integralkern K linear fortgesetzt werden:

$f(q',t')=\int d^{m}q\;K(q',t';q,t)f(q,t)$

Ein solcher Kern pflanzt sich multiplikativ fort, wie eine 'kontinuierliche' Matrixmultiplikation:

$K(q_{2},t_{2};q_{0},t_{0})=\int d^{m}q_{1}\;K(q_{2},t_{2};q_{1},t_{1})K(q_{1},t_{1};q_{0},t_{0})$

Vielleicht gelingt es, bei genügend kleinen Zeitscheiben den Kern K zu vereinfachen als Exponentialfaktor mit einfachen Differenzen $(q'-q,t'-t)$ und so weiter? Das Zeitintervall wird in N Stücke geteilt:

$f(q',t')=\int d^{m}q\;K(q',t';q,t)f(q,t)$

$(t'-t)=Nd;\;t_{n}=nd+t\;(n=0\cdots N);\;q_{0}=q;\;q_{N}=q';\;t_{0}=t;\;t_{N}=t'.$

$f(q',t')=\iiint (d^{m}q_{1}\cdots d^{m}q_{N-1})\prod _{n=1}^{N}K(q_{n},t_{n};q_{n-1},t_{n-1})f(q,t)$

Eine Wunschformel fûr kleine Schritte wäre:

$K(q',t';q,t)=\exp[(t'-t)L(t,q,dq/dt)]+{\mathcal {O}}((t'-t)^{2})\quad \Rightarrow$

$f(q',t')=\lim _{N\to \infty }\iiint \prod dq_{n}\;\exp \left(d\sum L(t_{n},q_{n},{\dot {q}}_{n})\right)f(q,t)\;|_{d=(t'-t)/N}$

$=:\int {\mathcal {D}}q\;\exp \left[\int _{t}^{t'}d\tau \;L(\tau ,q(\tau ),{\dot {q}}(\tau ))\right]f(q,t)$

Äquivalente Grenzprozesse: $\quad d=(t'-t)/N,\;\lim _{d\to 0}\equiv \lim _{N\to \infty }.$

Damit ist der Kern K aufgebaut aus allen Folgen von Punkten $q_{0}\cdots q_{N},$ also im Grenzfall aus allen (differenzierbaren?) Pfaden zwischen dem Anfangspunkt $(q,t)$ und dem Endpunkt $(q',t').$ Über jeden der Pfade wird ein additives Funktional berechnet.

$K(q_{1},t_{1};q_{0},t_{0})=\int _{(q_{0},t_{0})}^{(q_{1},t_{1})}{\mathcal {D}}q\;\exp \left[\int _{t}^{t'}d\tau \;L(\tau ,q(\tau ),{\dot {q}}(\tau ))\right]$

Die mathematisch saubere Definition der Gebilde ist schwierig, daher verfahren folgende Herleitungen furchtlos mit der Brechstange. Hemdsärmelig werden Integrale, Folgen-Grenzwerte, Ableitungen frei vertauscht, divergente Normierungskonstanten abgespaltet.

Der Trick grob gesagt: man ziehe alles in einen Exponenten und erschaffe additive Dinge über Punktfolgen. Diese werden bei günstigem Wetter im Grenzfall zu Integralen über Pfade, also Pfadfunktionale. Das Funktionalintegral ist deren formale Summe über 'alle' Pfade, auch die nichtklassischen und beliebig chaotischen.

Ausarbeitung: Phasenraum-Form für Gleichung von Schrödinger-Typ

$H(\partial _{j},q_{k})=T(-i\partial _{j})+V(q_{k});\quad i\partial _{t}f(q,t)=Hf.$

Hier sind $\partial _{j}=\partial /(\partial q_{j}).\;T$ ist der kinetische Term, ein Polynom der Ableitungs-Operatoren. Die eingebauten Faktoren i sollen folgende Fourier-Transformation geschmeidiger machen und wie üblich hermitesche Operatoren erzwingen. In diesem Abschnitt gilt $\hbar =1.$

Es gibt eine Fourier-Transformation hin und zurück, um den kinetischen oder Ableitungs-Term als Polynom von Impulsvariablen zu verkleiden. Die partiellen Integrationen dazu seien erlaubt, alle Funktionen sollen für große q schnell abfallen.

$\lim _{d\to 0}(f(q',t+d)-f(q',t))/d=-iH(-i\partial ,q')f(q',t)$

$=-i(2\pi )^{-m}\int dp\;\exp(iq'p)\left[\int dq\;\exp(-ipq)\;(T(-i\partial _{q})+V(q))\;f(q,t)\right]$

$=-i(2\pi )^{-m}\int dp\;\exp(iq'p)\left[\int dq\;\exp(-ipq)\;(T(p)+V(q))\;f(q,t)\right]$

$=-i(2\pi )^{-m}\int dp\;dq\;\exp(ip(q'-q))\;(T(p)+V(q))\;f(q,t)$

$=-i(2\pi )^{-m}\int dp\;dq\;\exp(ip(q'-q))\;H(p,q)\;f(q,t)$

Daraus folgt die lineare Näherung, wo $t+d=t'$ gilt:

$f(q',t')=(2\pi )^{-m}\int dp\;dq\;\exp(ip(q'-q)\;[-idH(p,q)+1]\;f(q,t)+{\mathcal {O}}(d^{2})$

Mit $(1-idH(p,q))=\exp(-idH(p,q))+{\mathcal {O}}(d^{2})$ ist dann

$f(q',t')=(2\pi )^{-m}\int d^{m}p\;d^{m}q\;\exp \left(id[p(q'-q)/d-H(p,q)]\right)\;f(q,t)+{\mathcal {O}}(d^{2})$

Zuletzt wird noch angenommen, dass ein differenzierbarer Pfad von q nach q' geht, $(q'-q)/d={\dot {q}}(t)+{\mathcal {O}}(d^{2}).$ Damit

$f(q',t')=(2\pi )^{-m}\int d^{m}p\;d^{m}q\;\exp \left(id[p{\dot {q}}-H(p,q)]\right)\;f(q,t)+{\mathcal {O}}(d^{2})$

Dies hat die Form $\exp((t'-t)L(q,{\dot {q}})),$ abgesehen von einem Normierungsfaktor und der Verdoppelung der Variablenzahl von q zu (p,q). Der Schrödinger-Integralkern hat daher ein Doppel-Pfadintegral

$f(q_{1},t_{1})=\lim _{N\to \infty }{\mathcal {N}}(N)\iiint \prod d^{m}q_{n}\;\prod d^{m}p_{n}\;\exp \left(id\sum [p_{n}{\dot {q}}_{n}-H(p_{n},q_{n})]\right)\;f(q_{0},t_{0})$

$=:{\mathcal {N}}\int {\mathcal {D}}p\;{\mathcal {D}}q\;\exp \left(i\left[\int _{t_{0}}^{t_{1}}d\tau \;(p(\tau ){\dot {q}}(\tau )-H(p(\tau ),q(\tau )))\right]\right)\;f(q_{0},t_{0})$

$K(q_{1},t_{1};q_{0},t_{0})={\mathcal {N}}\int _{(q_{0},t_{0})}^{(q_{1},t_{1})}{\mathcal {D}}q\;{\mathcal {D}}p\;\exp \left(i\left[\int _{t_{0}}^{t_{1}}d\tau \;(p{\dot {q}}-H(p,q))\right]\right)$

Welche Pfade tragen am meisten bei zur Übergangsamplitude vom Startpunkt zum Zielpunkt? Es dürften solche sein, für die das additive Funktional im Exponenten stationär ist. Die anderen haben Nachbarn, die phasenversetzt oszillieren und sich gegenseitig kompensieren.
Ein stationärer Pfad $(\tau \mapsto (p_{k}(\tau ),q_{k}(\tau )))$ bezüglich der Funktionaldichte $F(p,q):=p{\dot {q}}-H(p,q)$ befolgt die Standardformeln der Variationsrechnung auf dem Funktional ${\bar {F}}$ mit dieser Dichte:

$0={\frac {\delta {\bar {F}}}{\delta q_{k}}}={\frac {\partial F}{\partial q_{k}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial F}{\partial {\dot {q}}_{k}}}=-{\dot {p}}_{k}-{\frac {\partial H}{\partial q_{k}}}$

$0={\frac {\delta {\bar {F}}}{\delta p_{k}}}={\dot {q}}_{k}-{\frac {\partial H}{\partial p_{k}}}$

Das sind genau die kanonischen Hamiltonschen Bewegungsgleichungen

${\dot {q}}_{k}=(\partial H/\partial p_{k});\qquad {\dot {p}}_{k}=-(\partial H/\partial q_{k})$

Es sind die klassischen Teilchenbahnen, die in der Amplitude dominieren.

Zweiter Schritt: quadratischer kinetischer Term wird integriert.
In der n-Teilchen Schrödinger-Gleichung ist der kinetische Term quadratisch, die Hamiltonfunktion lautet

$H(p,q)=\sum _{k}{\vec {p}}_{k}^{2}/(2m_{k})+V({\vec {q}}_{1},\cdots ,{\vec {q}}_{n}).$

Daher kann das Integral über p in der Näherung für f(q',t') durchgeführt werden.

Rechenregel. Seien p,q relle Vektoren (n-Tupel) und M eine symmetrische umkehrbare Matrix. Dann gilt folgendes Integral mit imaginären Exponenten:

$\int \exp[i(p^{T}Mp/2+q^{T}p)]\;d^{n}p=\left[\det {\frac {M}{2\pi i}}\right]^{-1/2}\cdot \exp[i(s^{T}Ms/2+q^{T}s)];\;Ms+q=0$

Man Fourier-transformiert eine Funktion mit konstantem Betrag 1 in eine andere, deren Betrag genauso konstant ist. Real- und Imaginärteil einzeln oszillieren wohl so wild gegen Unendlich, dass die Integrale konvergieren.

Anwendung auf den gesuchten quadratischen kinetischen Term.

$\int d^{m}p\;d^{m}q\;\exp \left(id[p{\dot {q}}-H(p,q)]\right)=\int d^{m}p\;d^{m}q\;\exp \left(id[p{\dot {q}}-p^{T}Tp/2-V(q)]\right)$

$={\mathcal {N}}\int d^{m}q\;\exp \left(id[p{\dot {q}}-p^{T}Tp/2-V(q)]\right);\quad Tp={\dot {q}}$

Das Integral wirft einen Wert p aus mit der Nebenbedingung $\partial H/\partial p={\dot {q}}.$ Mit dieser ist $p{\dot {q}}-H(p,q)=L(q,{\dot {q}})$ genau die klassische Lagrangefunktion der Bewegungsgleichung für Pfade $q(t).$ Die konstanten Faktoren werden von der Normierung aufgesogen.

$f(q',t')=\lim _{N\to \infty }\;{\mathcal {N}}(N)\;\iiint \prod dq_{n}\;\exp(id\sum L(t_{n},q_{n},{\dot {q}}_{n}))\;f(q,t)$

$={\mathcal {N}}\int {\mathcal {D}}q\;\exp \left[i\int _{t}^{t'}d\tau \;L(\tau ,q(\tau ),{\dot {q}}(\tau ))\right]f(q,t)$

Anwendung Einteilchen Schrödinger-Gleichung.

$i\partial _{t}\phi =-(\hbar /2m)\Delta \phi +(V({\vec {q}})/\hbar )\phi ({\vec {q}})$

Die Plancksche Wirkung ist wieder da zum guten Schluss. Die Funktion hier $H({\vec {p}},{\vec {q}})=(-\hbar p^{2})/(2m)+V({\vec {q}})/\hbar$ ist das 'mathematische' H des allgemeinen Teils. Berechnung des Integranden geht ganz mechanisch:

${\dot {q}}=\partial H/\partial p=\hbar p/m;\;L=p{\dot {q}}-H=[m{\dot {q}}^{2}/2-V({\vec {q}})]/\hbar .$

Der Integrand 'mathematisches L' ist die klassische Lagrangefunktion, geteilt durchs Wirkungsquantum. Mit der klassischen Wirkung S lautet dann das Pfadintegral einfach so:

$S\{q\}=\int _{t}^{t'}d\tau \;L_{c}(q,{\dot {q}});\quad L_{c}=m{\dot {q}}^{2}/2-V(q);\quad K(q',t';q,t)={\mathcal {N}}\int {\mathcal {D}}q\;\exp[iS\{q\}/\hbar ].$

Der Phasenbeitrag eines Pfades ist seine klassische Wirkung in natürlichen Einheiten, worin das Wirkungsquantum eine Umdrehung bedeutet.

Ausblick.
Als Alternative zur Schrödinger-Gleichung grenzt das Rechnen mit Pfadintegralen nahe an Quälerei, allein schon für den Harmonischen Oszillator. Extrem virtuose mathematische Physiker bewältigten sogar das Wasserstoffatom. Die Konstruktion ist eher als ein Konzept anzusehen, das die Quantentheorie intuitiver macht als der Operator-Formalismus. Die Physik weicht von klassischen Teilchenbahnen ab, weil alle anderen möglichen und unmöglichen Bahnen ebenfalls Beiträge liefern. Das erscheint weniger abrupt als der gängige Welle-Teilchen-Dualismus. Die klassischen Bahnen kommen raus als die Pfade mit höchstem Gewicht; die mit stationärer Wirkung, wo die Oszillationen sich nicht wegheben.

Der Zugang zur Quantisierung von Feldern wird dagegen durch Funktionalintegrale erleichtert. Klassische Teilchen sind vektorwertige Funktionen der Zeitachse. Für Quanten-Amplituden werden die Phasen der Wirkung über alle solche Funktionen summiert. Klassische elektromagnetische Felder sind tensorwertige Funktionen auf der Raumzeit-Mannigfaltigkeit. Fürs Quantenfeld werden genauso die Phasen eines Wirkungsfunktionals über die Menge aller Felder summiert. Daraus folgen die Amplituden für alle Reaktionen mit Photonen. Wirkungsfunktionale sind lorentzinvariante Integrale von Lagrange-Dichten.

Das Vielteilchen-System aus allen Elektronen (und Positronen) hat auch seinen Platz als Menge der Dirac-Felder im Funktionalintegral. Allerdings wegen des Pauli-Prinzip keine wirklich klassischen Felder. Sondern solche mit einer Grassmann-Algebra als Wertebereich.

Die Feynman-Regeln für das gesamte Standardmodell der Teilchenphyik lassen sich am schnellsten aus den Funktionalintegralen herleiten.

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