Ungleichung von Popoviciu

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Die Ungleichung von Popoviciu (englisch Popoviciu’s inequality) ist ein Lehrsatz der Analysis, einem der Teilgebiete der Mathematik. Die Ungleichung, welche einer Arbeit des rumänischen Mathematikers Tiberiu Popoviciu (1906–1975)[1] aus dem Jahre 1965 entstammt, stellt eine charakteristische Eigenschaft stetiger konvexer Funktionen auf reellen Intervallen dar. Sie lässt sich als Folgerung aus dem Majorisierungsprinzip von Hardy-Littlewood-Pólya gewinnen.[2]

Der Lehrsatz lässt sich angeben wie folgt:[3]

Gegeben seien ein beliebiges reelles Intervall und eine stetige reelle Funktion .
Dann sind folgende Bedingungen gleichwertig:
(B_1) ist eine konvexe Funktion.
(B_2) Je drei reelle Zahlen erfüllen die Ungleichung
 .
Dabei ist streng konvex dann und nur dann, wenn für je drei , vom Fall abgesehen, die obige Ungleichung mit dem Vergleichszeichen anstelle des Vergleichszeichens gilt.

Zwei Ungleichungen als Anwendung

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Mit Hilfe von Popovicius Ungleichung lassen sich unter anderem die folgenden beiden herleiten:[4]

Für je drei reelle Zahlen , welche nicht alle gleich sind, gilt stets:
(1)  .
(2)  .

Allgemeinere Ungleichungen, Integralversion

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Tiberiu Popoviciu gab in der Arbeit von 1965 seine Ungleichung in einer noch allgemeineren Fassung an, welche in der Folge – insbesondere durch Petar M. Vasić und Ljubomir R. Stanković – noch erweitert wurde.[5] Andere Autoren fanden weitere Verallgemeinerungen und Abwandlungen.[6] Nicht zuletzt wurde die Ungleichung von Popoviciu auch in eine Integralversion übertragen.[7]

Weitere Ungleichung von Popoviciu

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Mit dem Namen von Tiberiu Popoviciu sind einige weitere Ungleichungen verbunden und insbesondere die folgende, welche eine Verallgemeinerung einer bekannten Ungleichung von János Aczél darstellt:[8][9]

Gegeben seien reelle Zahlen sowie (zu einer gegebenen natürlichen Zahl ) zwei -Tupel und positiver reeller Zahlen.
Weiter seien und  .
Dann gilt:
 .[10]
  • Marcela V. Mihai, Flavia-Corina Mitroi-Symeonidis: New extensions of Popoviciu's inequality. In: Mediterranean Journal of Mathematics. Band 13, 2016, S. 3121–3133 (MR3554298).
  • D. S. Mitrinović: Analytic Inequalities. In cooperation with P. M. Vasić (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Band 165). Springer Verlag, Berlin (u. a.) 1970, ISBN 3-540-62903-3 (MR0274686).
  • Constantin Niculescu, Lars-Erik Persson: Convex Functions and Their Applications. A Contemporary Approach (= CMS Books in Mathematics. Band 23). Springer Verlag, New York 2006, ISBN 978-0-387-24300-9 (MR2178902).
  • Constantin P. Niculescu: The integral version of Popoviciu's inequality. In: Journal of Mathematical Inequalities. Band 3, 2009, S. 323–328 (MR2597657).
  • T. Popoviciu: Sur quelques inégalités. In: Gaz. Mat. Fiz. Ser. A. Band 11 (64), 1959, S. 451–461 (MR0125925).
  • Tiberiu Popoviciu: Sur certaines inégalités qui caractérisent les fonctions convexes. In: Analele Ştiințifice Univ. “Al. I. Cuza”, Iasi, Secția Mat. [Neue Serie]. Band 11, 1965, S. 155–164 (MR0206178).
  • Shanhe Wu: Some improvements of Aczél’s inequality and Popoviciu’s inequality. In: Computers & Mathematics with Applications. Band 56, 2008, S. 1196–1205, doi:10.1016/j.camwa.2008.02.021 (MR2437287).

Einzelnachweise und Fußnoten

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  1. Vgl. Artikel Tiberiu Popoviciu in der rumänischen Wikipedia!
  2. Constantin P. Niculescu, Lars-Erik Persson: Convex Functions and Their Applications. 2006, S. 12, 33
  3. Niculescu/Persson, op. cit., S. 12
  4. Niculescu/Persson, op. cit., S. 14
  5. Niculescu/Persson, op. cit., S. 60
  6. Vgl. Liste (=>@1@2Vorlage:Toter Link/ams.math.uni-bielefeld.de (Seite nicht mehr abrufbar, festgestellt im Mai 2019. Suche in Webarchiven)) im MathSciNet!
  7. Constantin P. Niculescu: The integral version of Popoviciu's inequality. J. Math. Inequal. 3 (2009), no. 3, 323–328
  8. Shanhe Wu: Some improvements of Aczél’s inequality and Popoviciu’s inequality In: Comput. Math. Appl. 56, S. 1196 ff
  9. D. S. Mitrinović: Analytic Inequalities. 1970, S. 58, 39
  10. Die Ungleichung von Aczél ergibt sich durch Setzung von  .