Householder-Verfahren

Die Householder-Verfahren sind eine Gruppe von numerischen Verfahren zur Bestimmung von Nullstellen einer skalaren reellen Funktion. Sie sind nach Alston Scott Householder benannt.

Beschreibung des Verfahrens

Sei $d$ eine natürliche Zahl und $f\colon I\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ eine mindestens $(d+1)$-fach stetig differenzierbare Funktion, die im Intervall $I$ eine einfache Nullstelle $a$ besitze, d. h. $f'(a)\neq 0$. Sei $x_{0}$ ein Startwert nahe genug an $a$. Dann konvergiert die durch die Iteration

$x_{k+1}=x_{k}+d{\frac {(1/f)^{(d-1)}(x_{k})}{(1/f)^{(d)}(x_{k})}}\quad {\text{mit }}k=0,1,2,\dots$

erzeugte Folge $(x_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ sukzessiver Approximationen mit Konvergenzordnung $d+1$ gegen $a$. Das heißt, es gibt eine Konstante $K>0$ mit

$|x_{k+1}-a|\leq K\cdot |x_{k}-a|^{d+1}$.

Für $d=1$ ergibt sich das Newton-Verfahren, für $d=2$ das Halley-Verfahren.

Motivation

Hat $f$ eine einfache Nullstelle in $a$, so gibt es eine $d$-fach stetig differenzierbare Funktion $g$ mit $g(a)=f'(a)\neq 0$ und $f(x)=g(x)(x-a)$. Die reziproke Funktion ${\frac {1}{f}}$ hat einen Pol der Ordnung $1$ in $a$. Liegt $x$ nahe $a$, so wird die Taylorentwicklung von ${\frac {1}{f}}$ in $x$ von diesem Pol dominiert,

${\begin{aligned}(1/f)(x+h)&=\sum _{k=0}^{d}(1/f)^{(k)}(x){\frac {h^{k}}{k!}}+{\mathcal {O}}(h^{d+1})\\[1em]={\frac {1}{g(x+h)(x+h-a)}}&={\frac {1}{g(x+h)(a-x)}}\sum _{k=0}^{d}\left({\frac {h}{a-x}}\right)^{k}+{\mathcal {O}}(h^{d+1})\end{aligned}}$

Betrachtet man $g(x+h)$ als sich langsam ändernd bis nahezu konstant zu $f^{\prime }(a)$, dann sind die Taylorkoeffizienten umgekehrt proportional zu den Potenzen von $x-a$, also

${\begin{aligned}&(1/f)^{(k)}(x)\approx {\frac {k!}{f'(a)\,(a-x)^{k+1}}}\\\implies &{\frac {(1/f)^{(k-1)}(x)}{(1/f)^{(k)}(x)}}\approx {\frac {a-x}{k}}\\\implies &a\approx x+k{\frac {(1/f)^{(k-1)}(x)}{(1/f)^{(k)}(x)}}\end{aligned}}$

für $k=1,\ldots ,d.$

Beispiel

Die von Newton zur Demonstration seines Verfahrens benutzte Polynomgleichung war $x^{3}-2x-5=0$. In einem ersten Schritt wurde beobachtet, dass es eine Nullstelle nahe $x=2$ geben muss. Durch Einsetzen von $x=2+h$ erhält man erst

$f(2+h)=-1+10h+6h^{2}+h^{3}$

und anschließend durch Invertieren dieses Polynoms als Taylorreihe

${\begin{aligned}(1/f)(2+h)=&-1-10\,h-106\,h^{2}-1121\,h^{3}-11856\,h^{4}-125392\,h^{5}\\&-1326177\,h^{6}-14025978\,h^{7}-148342234\,h^{8}-1568904385\,h^{9}\\&-16593123232\,h^{10}+{\mathcal {O}}(h^{11})\end{aligned}}$

Das Ergebnis des ersten Schritts des Householder-Verfahrens einer gegebenen Ordnung $d$ erhält man auch, indem man den Koeffizienten des Grades $d$ durch seinen linken Nachbarn in dieser Entwicklung teilt. Dies ergibt folgende Näherungen aufsteigender Ordnung

d	x1=2+
1	0,100000000000000000000000000000000
2	0,094339622641509433962264150943396
3	0,094558429973238180196253345227476
4	0,094551282051282051282051282051282
5	0,094551486538216154140615031261963
6	0,094551481438752142436492263099119
7	0,094551481543746895938379484125813
8	0,094551481542336756233561913325371
9	0,094551481542324837086869382419375
10	0,094551481542326678478801765822985

Es ergeben sich also in diesem Beispiel etwas mehr als $d$ gültige Dezimalstellen für den ersten Schritt im Verfahren der Ordnung $d.$

Quellen

• Alston Scott Householder, Numerical Treatment of a Single Nonlinear Equation, McGraw Hill Text, New York, 1970. ISBN 0-07-030465-3
• Newton's method and high order iterations, Pascal Sebah and Xavier Gourdon, 2001 (Auf der Seite ist eine Postscript-Version mit korrekter Formeldarstellung verlinkt.)