Ευκλείδεια μετρική

Χρήση του Πυθαγόρειου θεωρήματος για τον υπολογισμό της δισδιάστατης ευκλείδειας απόστασης

Στα μαθηματικά, η Ευκλείδεια απόσταση ή μετρική μεταξύ δύο σημείων στον ευκλείδειο χώρο είναι το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος μεταξύ τους. Μπορεί να υπολογιστεί από τις καρτεσιανές συντεταγμένες των σημείων χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα και γι' αυτό κατά καιρούς ονομάζεται Πυθαγόρεια απόσταση.

Τα ονόματα αυτά προκύπτουν από τους αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς Ευκλείδη και Πυθαγόρα. Στην ελληνική παραγωγική γεωμετρία που παραδειγματίζεται από τα Στοιχεία του Ευκλείδη, οι αποστάσεις δεν αναπαρίσταντο ως αριθμοί αλλά ως ευθύγραμμα τμήματα ίδιου μήκους, τα οποία θεωρούνταν «ίσα». Η έννοια της απόστασης ενυπάρχει στο εργαλείο της πυξίδας που χρησιμοποιείται για τη σχεδίαση ενός κύκλου, του οποίου όλα τα σημεία έχουν την ίδια απόσταση από ένα κοινό κεντρικό σημείο. Η σύνδεση του Πυθαγόρειου θεωρήματος με τον υπολογισμό της απόστασης δεν έγινε παρά μόνο τον 18ο αιώνα.

Η απόσταση μεταξύ δύο αντικειμένων που δεν είναι σημεία ορίζεται συνήθως ως η μικρότερη απόσταση μεταξύ ζευγών σημείων από τα δύο αντικείμενα. Είναι γνωστοί τύποι για τον υπολογισμό αποστάσεων μεταξύ διαφόρων τύπων αντικειμένων, όπως η απόσταση από ένα σημείο σε μια ευθεία. Στα προχωρημένα μαθηματικά, η έννοια της απόστασης έχει γενικευτεί σε αφηρημένους μετρικούς χώρους και έχουν μελετηθεί και άλλες αποστάσεις εκτός από τις ευκλείδειες. Σε ορισμένες εφαρμογές στη στατιστική και τη βελτιστοποίηση, χρησιμοποιείται το τετράγωνο της ευκλείδειας απόστασης αντί της ίδιας της απόστασης.

Μετρήσεις αποστάσεων

Η ευκλείδεια μετρική είναι η συνάρτηση $d:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} \,$ που αντιστοιχεί σε δύο διανύσματα $\mathbf {x} ,\mathbf {y} \,$του $n-$διάστατου διανυσματικού χώρου $\mathbb {R} ^{n}\,$, $\mathbf {x} =\{x_{1},\dots ,x_{n}\},\mathbf {y} =\{y_{1},\dots ,y_{n}\}\,$ στον αριθμό

$d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )={\sqrt {(y_{1}-x_{1})^{2}+(y_{2}-x_{2})^{2}+\dots +(y_{n}-x_{n})^{2}}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-x_{i})^{2}}}.$

Η συνάρτηση μετράει τη "συνήθη" (ευκλείδεια) απόσταση μεταξύ δύο σημείων στον επίπεδο , $n-$διάστατο χώρο κάνοντας επανειλημμένη χρήση του Πυθαγόρειου θεωρήματος.

Ειδικές Περιπτώσεις

Μία διάσταση

Εφαρμόζοντας τον παραπάνω τύπο για δύο μονοδιάστατα σημεία $P=(p_{x})\,$ και $Q=(q_{x})\,$, η ευκλείδεια απόσταση είναι:

${\sqrt {(p_{x}-q_{x})^{2}}}=|p_{x}-q_{x}|$

Δύο διαστάσεις

Για δύο δισδιάστατα σημεία στο επίπεδο, $P=(p_{x},p_{y})\,$ και $Q=(q_{x},q_{y})\,$, η ευκλείδεια απόσταση είναι:

${\sqrt {(p_{x}-q_{x})^{2}+(p_{y}-q_{y})^{2}}}$

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Euclid’s elements of geometry - The Greek text of J.L. Heiberg (1883–1885) Πανεπιστήμιο του Τέξας στο Όστιν