Εκκρεμές

Παράδειγμα εκκρεμούς.

Εκκρεμές ονομάζεται ένα στερεό σώμα μέσα σε βαρυτικό πεδίο, το οποίο μπορεί να περιστρέφεται γύρω από οριζόντιο άξονα που δεν περνάει από το κέντρο βάρους του. Αν το εκκρεμές εκτραπεί από τη θέση ισορροπίας του, που είναι η κατακόρυφη ευθεία που διέρχεται από το σταθερό σημείο και το κέντρο βάρους του, τότε, λόγω βαρύτητας, το εκκρεμές τίθεται σε κίνηση. Επειδή το σκοινί δεν αλλάζει μήκος, τουλάχιστον θεωρητικά, το εκκρεμές εκτελεί μέρος κυκλικής κίνησης σε κύκλο που οριοθετείται από το σταθερό σημείο και το μήκους του σχοινιού. Αν δεν υπάρχουν απώλειες ενέργειας, κυρίως λόγω τριβών, το εκκρεμές εκτελεί ταλάντωση. Αν η γωνία εκτροπής είναι πολύ μικρή, τότε η ταλάντωση του εκκρεμούς μπορεί να θεωρηθεί απλή αρμονική ταλάντωση. Η περίοδος αυτής της ταλάντωσης είναι σταθερή, για αυτό χρησιμοποιήθηκε και χρησιμοποιείται σε μεγάλα ρολόγια και καμπαναριά.

Το εκκρεμές βρίσκει εφαρμογή στην κατασκευή ρολογιών, στην κατασκευή επιστημονικών οργάνων, όπως επιταχυντόμετρα και σεισμόμετρα. Στο παρελθόν χρησιμοποιούταν επίσης για την μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας.

Το εκκρεμές στην φυσική

Το εκκρεμές αποτελεί ένα παράδειγμα απλής αρμονικής ταλάντωσης. Κατά την μελέτη του διακρίνουμε τις περιπτώσεις του απλού ή μαθηματικού εκκρεμούς και του φυσικού εκκρεμούς. Στην περίπτωση που μελετάται η ταλάντωση μίας σημειακής μάζας που κρέμεται από αβαρές νήμα αναφερόμαστε στο μαθηματικό εκκρεμές, ενώ στην περίπτωση που έχουμε ένα τυχαίο επίπεδο σώμα αναρτημένο από έναν σταθερό άξονα που δεν διέρχεται από το κέντρο μάζας του αναφερόμαστε στο φυσικό εκκρεμές. Το μαθηματικό εκκρεμές προσομοιώνεται με ένα μικρό, βαρύ σφαιρικό σώμα που κρέμεται από πολύ λεπτό νήμα.

Μαθηματικό εκκρεμές

Τριγωνομετρική ανάλυση της κίνησης του εκκρεμούς

Το μαθηματικό ή απλό εκκρεμές είναι ένα ιδανικό μοντέλο εκκρεμούς. Πρόκειται για ένα σύστημα που αποτελείται από μία σημειακή μάζα η οποία κρέμεται από αβαρές νήμα και εκτελεί απλές αρμονικές ταλαντώσεις. Σε ένα τέτοιο σύστημα οι μόνες δυνάμεις που ασκούνται είναι το βάρος και η τάση του νήματος. Η βαρύτητα έχει κατεύθυνση προς τα κάτω, ενώ η τάση του νήματος έχει κατεύθυνση προς το σταθερό σημείο και είναι πάντα κάθετη στην ταχύτητα. Επειδή, το σώμα διατρέχει τμήμα κύκλου, η συνολική δύναμη μπορεί να αναλυθεί σε δύο δυνάμεις, μία κεντρομόλο και μία επιτρόχια. Το ίδιο ισχύει και για την ταχύτητα. Η ακτινική ταχύτητα είναι μηδέν, άρα η κεντρομόλος δύναμη είναι ανάλογη του τετραγώνου της ταχύτητας. Σε ένα τέτοιο εκκρεμές ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα για την επιτρόχια δύναμη γράφεται¹:

$F(t)=-m\cdot g\cdot \sin \theta =m{d^{2}s \over dt^{2}}$

Με δεδομένο ότι το μήκος τόξου είναι ανάλογο της γωνίας, δηλαδή s =$\ell$θ καταλήγουμε στην παρακάτω διαφορική εξίσωση¹

${d^{2}\theta \over dt^{2}}+{g \over \ell }\sin \theta =0$

Η λύση της διαφορικής αυτής εξίσωσης είναι εξαιρετικά δύσκολη όμως για μικρές γωνίες μπορούμε να θεωρήσουμε ότι ισχύει ημθ=θ. Με αυτή την παραδοχή η διαφορική εξίσωση μετατρέπεται στην απλή δευτεροβάθμια διαφορική που περιγράφει και την απλή αρμονική ταλάντωση:

${d^{2}\theta \over dt^{2}}+{g \over \ell }\theta =0$

Λύση αυτής της διαφορικής εξισωσης αποτελεί η εξίσωση της μεταβολής της γωνίας του εκκρεμούς συναρτήσει του χρόνου που ισούται με:

$\theta (t)=\theta _{0}\cos \omega t\mathbf {}$

Παρατηρούμε ότι η γωνία μεταβάλλεται αρμονικά και επομένως το σώμα πραγματοποιεί αρμονική ταλάντωση με περίοδο:

$T_{0}=2\pi {\sqrt {\frac {\ell }{g}}}$

¹ Επεξήγηση συμβόλων: F_t = Επιτρόχια δύναμη, $\ell$ = Μήκος νήματος, g = επιτάχυνση της βαρύτητας

Φυσικό εκκρεμές

Το φυσικό εκκρεμές αντιστοιχεί σε ένα επίπεδο στερεό σώμα αναρτημένο από έναν σταθερό άξονα που δεν διέρχεται από το κέντρο μάζας του. Στο φυσικό εκκρεμές ασκείται ροπή στο σώμα με την επίδραση της οποίας ταλαντώνεται. Η περίοδος ταλάντωσης του ισούται με:

$T=2\pi {\sqrt {\frac {I}{mgL}}}.$

όπου Ι η ροπή αδράνειας του σώματος, και L η απόσταση του κέντρου μάζας του από τον σταθερό άξονα.

Πηγές

• Physics - Raymond Serway, τόμος Ι

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Καποδιστριακό πανεπιστήμιο, Το εκκρεμές
• Μαθηματικό εκκρεμές, προσομοίωση