Πραγματικό προβολικό επίπεδο

Το θεμελιώδες πολύγωνο του προβολικού επιπέδου.

Η λωρίδα Μέμπιους με μία ακμή, μπορεί να κλείσει σε ένα προβολικό επίπεδο, κολλώντας μεταξύ τους τις απέναντι ανοιχτές ακμές.

Σε σύγκριση, η φιάλη του Κλάιν είναι μια ταινία του Μέμπιους που έχει κλείσει σε έναν κύλινδρο.

Στα μαθηματικά, το πραγματικό προβολικό επίπεδο είναι ένα παράδειγμα μιας συμπαγούς μη προσανατολισμένης δισδιάστατης πολλαπλότητας. Με άλλα λόγια, μια μονόπλευρη επιφάνεια. Δεν μπορεί να εμφυτευθεί σε τυπικό τρισδιάστατο χώρο χωρίς να τέμνει τον εαυτό της. Έχει βασικές εφαρμογές στη γεωμετρία, αφού η συνήθης κατασκευή του πραγματικού προβολικού επιπέδου είναι ο χώρος των γραμμών στο R³ που διέρχονται από την αρχή των αξόνων.

Παραδείγματα

Το πραγματικό προβολικό επίπεδο μπορεί να στρεβλωθεί και να τοποθετηθεί στο ευκλείδειο επίπεδο ή στον τρισδιάστατο χώρο με πολλούς διαφορετικούς τρόπους. Μερικά από τα πιο σημαντικά παραδείγματα περιγράφονται παρακάτω.

Το προβολικό επίπεδο δεν μπορεί να εμφυτευθεί (δηλαδή να τοποθετηθεί χωρίς να τέμνει τον εαυτό του) στον τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο. Η απόδειξη ότι το προβολικό επίπεδο δεν εμφυτεύεται στον τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο γίνεται ως εξής: Υποθέτοντας ότι εμφυτεύεται, θα οριοθετούσε μια συμπαγή περιοχή στον τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο από το γενικευμένο θεώρημα καμπύλης Τζόρνταν. Το μοναδιαίο κάθετο διανυσματικό πεδίο με κατεύθυνση προς το εξωτερικό αυτής της περιοχής θα έδινε έναν προσανατολισμό της οριοθετημένης πολλαπλότητας, το σύνορο της οποίας θα ήταν το προβολικό επίπεδο, που όμως δεν είναι προσανατολισμένο. Η υπόθεση του ότι μπορεί να εμφυτευτεί οδήγησε σε άτοπο άρα δεν ισχύει.

Η προβολική σφαίρα

Αν υποθέσουμε ότι έχουμε μια σφαίρα, και έστω ότι οι μέγιστοι κύκλοι της σφαίρας είναι "γραμμές", και τα ζεύγη των αντίποδων σημείων είναι τα "σημεία". Είναι εύκολο να δει κανείς ότι αυτό το σύστημα υπακούει στα αξιώματα του προβολικού επιπέδου:

• κάθε ζεύγος δυο διαφορετικών μέγιστων κύκλων τέμνεται σε ένα ζεύγος αντίποδων σημείων, και
• κάθε δυο διαφορετικά ζεύγη αντίποδων σημείων βρίσκονται πάνω σε έναν μοναδικό μέγιστο κύκλο.

Αν ταυτίσουμε κάθε σημείο της σφαίρας με το αντίποδο σημείο του, τότε παίρνουμε μια αναπαράσταση του πραγματικού προβολικού επιπέδου στο οποίο τα "σημεία" είναι πράγματι σημεία. Αυτό σημαίνει ότι το προβολικό επίπεδο είναι ένας χώρος πηλίκο της σφαίρας, ο οποίος είναι η διαμέριση της σφαίρας στις κλάσεις ισοδυναμίας που ορίζονται από την σχέση ισοδυναμίας ~, όπου x ~ y αν y = −x. Αυτός ο χώρος πηλίκο της σφαίρας είναι ομοιομορφικός με την συλλογή των γραμμών που περνούν από την αρχή των αξόνων του R³.

Η απεικόνιση πηλίκο από την σφαίρα επί του πραγματικού προβολικού επιπέδου είναι στην πραγματικότητα μια 2 επί 1 απεικόνιση(απεικονίζει δύο σημεία σε ένα).

Το προβολικό ημισφαίριο

Λόγω του ότι η σφαίρα καλύπτει το πραγματικό επίπεδο δύο φορές, το επίπεδο μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένα κλειστό ημισφαίριο του οποίου τα απέναντι σημεία ταυτίζονται.