Teorema de Stolz-Cesàro

En matemáticas, el teorema de Stolz-Cesàro es un criterio para probar la convergencia de una sucesión. Su aplicación permite la resolución de algunos tipos de indeterminaciones.

El Teorema de Stolz-Cesàro puede ser visto en cierta forma como una generalización del promedio de Cesàro.

El teorema recibe su nombre por los matemáticos Otto Stolz y Ernesto Cesàro.

Criterio de Stolz del cociente

Sean $\{a_{n}\}\$ y $\{b_{n}\}\$ dos sucesiones tales que,

• $\lim _{n\to \infty }a_{n}=0$
• $\{b_{n}\}\$ es monótona decreciente y $\lim _{n\to \infty }b_{n}=0$ o monótona creciente y divergente a $+\infty \$.
• $\lim _{n\to \infty }{\frac {-a_{n+1}+a_{n}}{-b_{n+1}+b_{n}}}=\lambda ,\lambda \in \mathbb {R}$

Entonces, el límite:

$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=\lambda$

Es utilizado frecuentemente para resolver indeterminaciones del tipo ${\frac {\infty }{\infty }}$.Otra forma de enunciación es la siguiente:

Sean $(a_{n})_{n\geq 1}$ y $(b_{n})_{n\geq 1}$ dos sucesiones de números reales. Asumiendo que $(b_{n})$ sea positiva, estrictamente creciente y no acotada y que exista el siguiente límite:

$\lim _{n\to \infty }{\frac {-a_{n+1}+a_{n}}{-b_{n+1}+b_{n}}}=l.$

Entonces podemos asegurar que el limite

$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}$

existe y es igual a $l$ siempre y cuando el denominador sea distinto de cero.

Criterio de Stolz de la raíz

Sean $\{a_{n}\}\$ y $\{b_{n}\}\$ dos sucesiones tales que,

• $a_{n}>0,\forall n\in \mathbb {N}$
• $b_{n}\$ es monótona creciente y divergente $(b_{n}>0,\forall n)$
• $\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{b_{n+1}-b_{n}}]{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}}=\lambda ,\lambda \in \mathbb {R}$

Entonces,

$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{b_{n}}]{a_{n}}}=\lambda$