Funciones elípticas de Weierstraß

Símbolo de la función P de Weierstrass P.

En el ámbito de las matemáticas, las funciones elípticas de Weierstraß son un grupo de funciones elípticas que poseen una forma particularmente simple (cf. funciones elípticas de Jacobi); han sido designadas en honor al matemático Karl Weierstraß. Esta clase de funciones es también llamada funciones P y generalmente se las escribe utilizando el símbolo $\wp$ (que corresponde a una letra P estilizada, llamada P de Weierstraß).

Definiciones

La función P de Weierstrass definida sobre una porción del plano complejo utilizando una técnica usual de visualización en la cual el blanco corresponde a un polo, negro a un cero, y la máxima saturación a $\left|f(z)\right|=\left|f(x+iy)\right|=1\;.$ Notar la retícula regular de los polos, y dos retículas que se entrecruzan de ceros.

Se puede definir a la función elíptica de Weierstraß de tres maneras muy similares, cada una de ellas posee ciertas ventajas. Una es como una función de variable compleja $z$ y una retícula $\Lambda$ en el plano complejo. Otra es en término de $z$ y dos números complejos $\omega _{1}$ y $\omega _{2}$ que definen un par de generadores, o períodos, de la retícula. La tercera es en término de $z$ y de un módulo $\tau$ en el semiplano superior. Esta se relaciona con la definición previa mediante la siguiente expresión $\tau =\omega _{2}/\omega _{1}$, la cual en virtud de la convención usual de pares de períodos se encuentra en el semiplano superior. Utilizando este método, para un $z$ fijo las funciones de Weierstrass resultan ser funciones modulares de $\tau$.

Considerando los dos períodos, la función elíptica de Weierstraß es una función elíptica con períodos $\omega _{1}$ y $\omega _{2}$ definida como

$\wp (z;\omega _{1},\omega _{2})={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{m^{2}+n^{2}\neq 0}\left\{{\frac {1}{(z-m\omega _{1}-n\omega _{2})^{2}}}-{\frac {1}{\left(m\omega _{1}+n\omega _{2}\right)^{2}}}\right\}.$

Entonces $\Lambda =m\omega _{1}+n\omega _{2}$ son los puntos de la retícula de período, por lo que

$\wp (z;\Lambda )=\wp (z;\omega _{1},\omega _{2})$

para todo par de generadores de la retícula define la función de Weierstraß como una función de una variable compleja y una retícula.

Si $\tau$ es un número complejo en el semiplano superior, entonces

$\wp (z;\tau )=\wp (z;1,\tau )={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{n^{2}+m^{2}\neq 0}{1 \over (z-n-m\tau )^{2}}-{1 \over (n+m\tau )^{2}}.$

La suma indicada previamente es homogénea con un grado menos dos, con lo cual se puede definir la función $\wp$ de Weierstraß para todo par de períodos, como

$\wp (z;\omega _{1},\omega _{2})=\wp (z/\omega _{1};\omega _{2}/\omega _{1})/\omega _{1}^{2}.$

Bibliografía

• Naum Illyich Akhiezer, Elements of the Theory of Elliptic Functions, (1970) Moscow, translated into English as AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2
• Tom M. Apostol, Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, Second Edition (1990), Springer, New York ISBN 0-387-97127-0 (See chapter 1.)
• K. Chandrasekharan, Elliptic functions (1980), Springer-Verlag ISBN 0-387-15295-4
• Serge Lang, Elliptic Functions (1973), Addison-Wesley, ISBN 0-201-04162-6
• E. T. Whittaker and G. N. Watson, A course of modern analysis, Cambridge University Press, 1952, chapters 20 and 21
• Konrad Knopp, Funktionentheorie II (1947), Dover; Republished in English translation as Theory of Functions (1996), Dover ISBN 0-486-69219-1
• Abramowitz and Stegun, chapter 18

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Weierstrass Elliptic Function». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Funciones elípticas, página de análisis complejo de Hans Lundmark.

• Datos: Q2343600
• Multimedia: Weierstrass's elliptic functions / Q2343600