Lema de Radon

El lema de Radon, o simplemente teorema de Radon es un teorema de geometría combinatoria. Se enuncia de la siguiente manera:

Si se toman d+2 puntos de Rd, se pueden repartir en dos conjuntos disjuntos A y B tales que las envolventes convexas de A y B se intersecan. Johann Radon (1921)

Historia

El teorema fue probado por Johann Radon en 1921, como condición para probar el teorema de Helly. Cabe destacar que el lema de Radon es equivalente al teorema de Helly, el teorema de Carathéodory y el teorema de Kirchberger, que constituyen la base de la geometría combinatoria.

Ejemplo

Si trabajamos con d = 2, o sea en R², el conjunto, al que se llamará X, constará de cuatro puntos. Así, podría ser posible particionar X, en un subconjunto con tres puntos y otro subconjunto con un único punto aislado, donde la envoltura convexa del subconjunto de tres puntos (un triángulo) contiene al subconjunto del punto único, o sería posible particionar X, en dos subconjuntos con dos puntos cada uno, tales que los segmentos de línea que unen los puntos de cada subconjunto se intersequen. La última situación sería el caso de tomar todo X, lo cual sería tomar los vértices de un cuadrilátero convexo.

Demostración

La demostración del lema no es demasiado complicada. Consta de los siguientes pasos:

• Se toma un conjunto X={x₁,x₂,...,x_d+2} subconjunto de R^d.
• Puesto que el conjunto de d+2 puntos es linealmente dependiente, existen unos multiplicadores λ₁,λ₂,...,λ_d+2 tales que:

$\sum _{i=1}^{d+2}\lambda _{i}x_{i}=0$

y

$\sum _{i=1}^{d+2}\lambda _{i}=0$

• Si A₁ es el subconjunto de todos los x_i cuyos λ_i son positivos, y A₂, es el subconjunto del resto de puntos, y considerando N como la suma de los λ_i positivos, entonces, utilizando los sistemas de arriba se tiene que:

${\frac {1}{N}}\sum _{x_{i}\in A_{1}}\lambda _{i}x_{i}={\frac {1}{N}}\sum _{x_{i}\in A_{2}}(-\lambda _{i})x_{i}$

Donde el punto $\textstyle {\frac {1}{N}}\sum _{x_{i}\in A_{1}}\lambda _{i}x_{i}$ es intersección de la envolvente convexa de los subconjuntos A₁ y A₂.

Q.E.D.

Referencias

• Planetmath.org. «Radon's lemma.». Archivado desde el original el 18 de julio de 2008. Consultado el 20 de diciembre de 2008. 
• J. Eckhoff, Helly, Radon, and Carathéodory type theorems, Handbook of convex geometry, Vol. A, B, 389-448, North-Holland, Ámsterdam, 1993.

• Datos: Q1471282