Radio espectral

En matemáticas, el radio espectral de una matriz o de un operador lineal acotado es el supremo de entre los valores absolutos de los elementos de su espectro, indicándose en ocasiones con ρ(·).

Matrices

Si λ₁, ..., λ_s son los valores propios (reales o complejos) de una matriz A ∈ C^{n × n}, entonces su radio espectral ρ(A) se define como:

$\rho (A):=\max _{i}(|\lambda _{i}|)$

El siguiente lema muestra una mayorante sencilla hasta ahora útil para el radio espectral de una matriz:

Lema

Sea $A\in {\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {C} )$ es una matriz cuadrada, $\rho (A)$ su radio espectral y $\Vert \cdot \Vert$ una norma matricial, entonces: $\rho (A)\leq \Vert A^{k}\Vert ^{1/k},\quad \forall k\in \mathbb {N}$

Demostración

Si (v, λ) es un par compuesto de un vector propio y un valor propio para una matriz A, por la propiedad sub-multiplicativa de la norma matricial, se obtiene:

$|\lambda |^{k}\|\mathbf {v} \|=\|\lambda ^{k}\mathbf {v} \|=\|A^{k}\mathbf {v} \|\leq \|A^{k}\|\cdot \|\mathbf {v} \|$

y como v ≠ 0 por cada λ se tiene:

$|\lambda |^{k}\leq \|A^{k}\|$

por lo que:

$\rho (A)\leq \|A^{k}\|^{1/k}$

El radio espectral está estrechamente relacionado con el comportamiento de la convergencia de la sucesión de potencias de una matriz, como muestra el siguiente teorema:

Teorema

Sea $A\in {\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {C} )$ es una matriz cuadrada y $\rho (A)$ su radio espectral, entonces: $\lim _{k\to \infty }A^{k}=0\Longleftrightarrow \rho (A)<1$ Además, si $\rho (A)>1$, $\Vert A^{k}\Vert$ no está sometido a valores $k$ en aumento.

Demostración

($\lim _{k\to \infty }A^{k}=0\Rightarrow \rho (A)<1$)

Si (v, λ) es un par compuesto de un vector propio y un valor propio para una matriz A, puesto que:

$A^{k}\mathbf {v} =\lambda ^{k}\mathbf {v} ,$

se tiene:

$0\,$	$=(\lim _{k\to \infty }A^{k})\mathbf {v}$
	$=\lim _{k\to \infty }A^{k}\mathbf {v}$
	$=\lim _{k\to \infty }\lambda ^{k}\mathbf {v}$
	$=\mathbf {v} \lim _{k\to \infty }\lambda ^{k}$

Y, ya que a través de una hipótesis v ≠ 0, se debe tener:

$\lim _{k\to \infty }\lambda ^{k}=0$

lo que implica que |λ| < 1. Puesto que esto debe valer para cualquier autovalor λ, se puede concluir que ρ(A) < 1.

($\rho (A)<1\Rightarrow \lim _{k\to \infty }A^{k}=0$)

Gracias al Teorema de la forma canónica de Jordan, se sabe que para cualquier matriz de valores complejos A ∈ C^{n × n}, cualquier matriz no singular V ∈ C^{n × n} y cualquier matriz diagonal a bloques J ∈ C^{n × n} existen así:

$A=VJV^{-1}$

con:

$J={\begin{bmatrix}J_{m_{1}}(\lambda _{1})&0&0&\cdots &0\\0&J_{m_{2}}(\lambda _{2})&0&\cdots &0\\\vdots &\cdots &\ddots &\cdots &\vdots \\0&\cdots &0&J_{m_{s-1}}(\lambda _{s-1})&0\\0&\cdots &\cdots &0&J_{m_{s}}(\lambda _{s})\end{bmatrix}}$

donde:

$J_{m_{i}}(\lambda _{i})={\begin{bmatrix}\lambda _{i}&1&0&\cdots &0\\0&\lambda _{i}&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{i}&1\\0&0&\cdots &0&\lambda _{i}\end{bmatrix}}\in \mathbb {C} ^{m_{i},m_{i}},1\leq i\leq s.$

Se ve fácilmente que:

$A^{k}=VJ^{k}V^{-1}$

y, puesto que J es la diagonal a bloques:

$J^{k}={\begin{bmatrix}J_{m_{1}}^{k}(\lambda _{1})&0&0&\cdots &0\\0&J_{m_{2}}^{k}(\lambda _{2})&0&\cdots &0\\\vdots &\cdots &\ddots &\cdots &\vdots \\0&\cdots &0&J_{m_{s-1}}^{k}(\lambda _{s-1})&0\\0&\cdots &\cdots &0&J_{m_{s}}^{k}(\lambda _{s})\end{bmatrix}}$

Ahora, un resultado normal en la potencia k de un bloque Jordan m_i × m_i, para k ≥ m_{i − 1}, establece lo siguiente:

$J_{m_{i}}^{k}(\lambda _{i})={\begin{bmatrix}\lambda _{i}^{k}&{k \choose 1}\lambda _{i}^{k-1}&{k \choose 2}\lambda _{i}^{k-2}&\cdots &{k \choose m_{i}-1}\lambda _{i}^{k-m_{i}+1}\\0&\lambda _{i}^{k}&{k \choose 1}\lambda _{i}^{k-1}&\cdots &{k \choose m_{i}-2}\lambda _{i}^{k-m_{i}+2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{i}^{k}&{k \choose 1}\lambda _{i}^{k-1}\\0&0&\cdots &0&\lambda _{i}^{k}\end{bmatrix}}$

Por tanto, si ρ(A) < 1, entonces |λ_i| < 1 ∀ i, por lo que:

$\lim _{k\to \infty }J_{m_{i}}^{k}=0\ \forall i$

lo que implica que:

$\lim _{k\to \infty }J^{k}=0.$

En consecuencia:

$\lim _{k\to \infty }A^{k}=\lim _{k\to \infty }VJ^{k}V^{-1}=V(\lim _{k\to \infty }J^{k})V^{-1}=0$

Por otro lado, si ρ(A)>1, hay al menos un elemento en J que no permanece inalterable al aumentar k, demostrando así la segunda parte de la teoría.

$\square$

Teorema (La fórmula de Gelfand, 1941)

Para toda norma matricial ||·||, se tiene:

$\rho (A)=\lim _{k\to \infty }||A^{k}||^{1/k}.$

Es decir, la fórmula de Gelfand muestra cómo el radio espectral de A es la causa del ritmo de crecimiento asintótico de la norma de A^k:

$\|A^{k}\|\sim \rho (A)^{k}$ para $k\rightarrow \infty .\,$

Demostración: Si todo ε > 0, al considerar la matriz:

${\tilde {A}}=(\rho (A)+\epsilon )^{-1}A.$

Entonces, lógicamente:

$\rho ({\tilde {A}})={\frac {\rho (A)}{\rho (A)+\epsilon }}<1$

y, de acuerdo con el teorema anterior:

$\lim _{k\to \infty }{\tilde {A}}^{k}=0.$

Lo que revela, a través de la definición del límite de secuencia, que un número natural N₁ ∈ N existe así:

$\forall k\geq N_{1}\Rightarrow \|{\tilde {A}}^{k}\|<1$

lo que en cada caso significa que:

$\forall k\geq N_{1}\Rightarrow \|A^{k}\|<(\rho (A)+\epsilon )^{k}$

o que:

$\forall k\geq N_{1}\Rightarrow \|A^{k}\|^{1/k}<(\rho (A)+\epsilon ).$

Al considerar ahora la matriz:

${\check {A}}=(\rho (A)-\epsilon )^{-1}A.$

entonces, lógicamente:

$\rho ({\check {A}})={\frac {\rho (A)}{\rho (A)-\epsilon }}>1$

así, de acuerdo con el teorema anterior, $\|{\check {A}}^{k}\|$ permanece inalterable.

Esto resuelve que un número natural N₂ ∈ N existe así:

$\forall k\geq N_{2}\Rightarrow \|{\check {A}}^{k}\|>1$

lo que en cada caso significa que:

$\forall k\geq N_{2}\Rightarrow \|A^{k}\|>(\rho (A)-\epsilon )^{k}$

o que:

$\forall k\geq N_{2}\Rightarrow \|A^{k}\|^{1/k}>(\rho (A)-\epsilon ).$

Tomando:

$N:=max(N_{1},N_{2})$

e insertándolo en lo anterior, se consigue:

$\forall \epsilon >0,\exists N\in \mathbb {N} :\forall k\geq N\Rightarrow \rho (A)-\epsilon <\|A^{k}\|^{1/k}<\rho (A)+\epsilon$

lo que por definición es:

$\lim _{k\to \infty }\|A^{k}\|^{1/k}=\rho (A).\,\,\square$

La fórmula de Gelfand conduce directamente a un límite del radio espectral de un producto de muchas matrices finitas; suponiendo que todas ellas se conmutaran, se obtendría: $\rho (A_{1}A_{2}\ldots A_{n})\leq \rho (A_{1})\rho (A_{2})\ldots \rho (A_{n}).$

En realidad, en el caso en que la norma fuera constante, la demostración serviría más que la tesis; de hecho, al emplear el lema anterior, se puede reemplazar la minorante en la definición de límite por el radio espectral mismo, quedando de forma:

$\forall \epsilon >0,\exists N\in \mathbb {N} :\forall k\geq N\Rightarrow \rho (A)\leq \|A^{k}\|^{1/k}<\rho (A)+\epsilon$

lo que por definición es:

$\lim _{k\to \infty }\|A^{k}\|^{1/k}=\rho (A)^{+}.$

Ejemplo: Al considerar la matriz:

$A={\begin{bmatrix}9&-1&2\\-2&8&4\\1&1&8\end{bmatrix}}$

cuyos valores propios son 5, 10, 10; de acuerdo con la definición, su radio espectral es ρ(A)=10. En la siguiente tabla aparecen los valores de $\|A^{k}\|^{1/k}$ en las cuatro normas más empleadas para algunos valores en aumento de k (tenerlo en cuenta, debido a la forma particular de esta matriz, $\|.\|_{1}=\|.\|_{\infty }$):

k	$\|.\|_{1}=\|.\|_{\infty }$	$\|.\|_{F}$	$\|.\|_{2}$
1	14	15.362291496	10.681145748
2	12.649110641	12.328294348	10.595665162
3	11.934831919	11.532450664	10.500980846
4	11.501633169	11.151002986	10.418165779
5	11.216043151	10.921242235	10.351918183
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
10	10.604944422	10.455910430	10.183690042
11	10.548677680	10.413702213	10.166990229
12	10.501921835	10.378620930	10.153031596
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
20	10.298254399	10.225504447	10.091577411
30	10.197860892	10.149776921	10.060958900
40	10.148031640	10.112123681	10.045684426
50	10.118251035	10.089598820	10.036530875
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
100	10.058951752	10.044699508	10.018248786
200	10.029432562	10.022324834	10.009120234
300	10.019612095	10.014877690	10.006079232
400	10.014705469	10.011156194	10.004559078
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
1000	10.005879594	10.004460985	10.001823382
2000	10.002939365	10.002230244	10.000911649
3000	10.001959481	10.001486774	10.000607757
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
10000	10.000587804	10.000446009	10.000182323
20000	10.000293898	10.000223002	10.000091161
30000	10.000195931	10.000148667	10.000060774
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
100000	10.000058779	10.000044600	10.000018232

Operadores lineales acotados

Para un operador lineal acotado A y la norma operacional ||·||, se tiene de nuevo:

$\rho (A)=\lim _{k\to \infty }\|A^{k}\|^{1/k}.$

A un operador acotado (en un espacio de Hilbert complejo) se le denomina operador espectraloide si su radio espectral coincide con su radio numérico. Un ejemplo de este tipo de operador es un operador normal.

Grafos

El radio espectral de un grafo finito se define como el radio espectral de su matriz de adyacencia.

Esta definición es válida para los casos de grafos infinitos con grados limitados de vértices (por ej. existe algún número real C, como el grado de cada vértice del grafo, que es menor que C).

En este caso, para el grafo $G$ si $l^{2}(G)$ indica el espacio de funciones:

$f\colon V(G)\to {\mathbb {R} }$

con:

$\sum _{v\in V(G)}\|f(v)^{2}\|<\infty$

Si $\gamma \colon l^{2}(G)\to l^{2}(G)$ es el operador de adyacencia de $G$, por ej.:

$(\gamma f)(v)=\sum _{(u,v)\in E(G)}f(u)$.

el radio espectral de G se define como el radio espectral del operador lineal acotado $\gamma$.

• Datos: Q249748