معادله مربعی

در ریاضیات به معادلات جبری با فرم عمومی زیر معادله درجه دو گفته می‌شود.

$ax^{2}+bx+c=0\,$

که $x\,$ بیانگر یک عدد متغیر و $a,b,c\,$ اعداد ثابت و حقیقی با شرط 0≠ $a\,$ هستند (در صورتی که $a=0\,$ باشد معادله به یک معادله خطی تبدیل می‌شود)

انواع روش‌های حل معادله درجه دو

معادلات درجه دو با روش‌های آزمون و خطا، فاکتورگیری و تجزیه، روش مربع کامل، روش هندسی، روش خوارزمی، نمودار تابع (رسم نمودار)، روش دلتا، روش نیوتون و روش‌های دیگر حل می‌شوند.

روش آزمون و خطا

در این روش با استفاده از حدس مقادیر مختلفی را برای متغیر در [معادله] قرار می‌دهیم و بررسی می‌کنیم که آیا این مقدار در معادله صدق می‌کند یا خیر.

روش آزمون و خطا در واقع دادن عدد به معادله برای پیدا کردن جواب می‌باشد. در این روش باید سعی کنیم مقادیر را چنان انتخاب کنیم که ما را به سمت صفر راهنمایی کند. برای این کار بهترین راه پیدا کردن یک جواب مثبت و یک جواب منفی برای حاصل معادله می‌باشد. با محدود کردن این بازه خود را به جواب نزدیکتر می‌کنیم. در نهایت باید به جوابی که در معادله صدق می‌کند برسیم. این روش حل معمولاً به ما جواب تقریبی می‌دهد.

روش تجزیه

این روش موقعی کارایی مناسبی دارد که بتوان به طریقی با تقسیم کل معادله بر ضریب جمله $x^{2}\,$ دو ثابت $b\,$ و $c\,$ ای به دست آورد که بین آن‌ها رابطه‌ای به شکل $b=m+n\,$ و $c=mn\,$ به سرعت به ذهن‌مان برسد. به این روش که منتج شده از اتّحاد ریاضیاتی معروف به جمله مشترک است، روش حل تجزیه‌ای گفته می‌شود. معادله بر اساس این اتحاد به شکل$(x+m)(x+n)=0\,$در می‌آید و در این حالت به آسانی با برابر صفر قرار دادن هر پرانتز به جواب‌های$x=-m,x=-n\,$ می‌رسیم.

مثال: می‌خواهیم معادله $2x^{2}-8x+6=0\,$ را حل کنیم. ابتدا دو طرف را بر دو تقسیم می‌کنیم تا ضریب $x^{2}\,$ یک شود. سپس در صدد یافتن m و n برمی‌آییم. $x^{2}-4x+3=0\,$ همان‌طور که می‌بینیم$-4=(-1)+(-3),3=(-1)(-3)\,$ یعنی به عبارتی جمع دو عدد می‌شود، ۴- و ضربشان هم، ۳ پس جواب‌ها به صورت$x=1,x=3\,$می‌باشند.

روش مربـّـع کامل کردن

این روش بر مبنای یکی از معروف‌ترین اتّحادهای ریاضی، معروف به اتحاد مربـّـع دوجمله‌ای به دست آمده‌است. برای هر دو عبارت ریاضی مثل A و B این اتحاد به این صورت ارائه می‌گردد: $(A+B)^{2}=(A)^{2}+2(A)(B)+(B)^{2}\,$

حال ما باید $ax^{2}\,$ را به صورت $({\sqrt {a}}x)^{2}\,$ در نظر بگیریم و $bx\,$ را به صورت $2({\sqrt {a}}x)L\,$ و از آنجا $L\,$ را به دست آورده و مقدار $L^{2}\,$ را از طرف چپ معادله کم و زیاد کنیم و پس از مرتب کردن و فاکتورگیری، معادله را به شکل

$(({\sqrt {a}})x+L)^{2}+c-(L^{2})=0\,$ درآوریم؛ که درصورتی معادله جواب حقیقی دارد که $(L^{2})-c\,$ مقداری مثبت یا صفر شود.

مثال: می‌خواهیم $4x^{2}+12x+5=0\,$ را حل کنیم. $({\sqrt {4}}x+3)^{2}+5-9=0\,$ و سپس نتیجه می‌شود: $(2x+3)^{2}=4\,$ و داریم: $(2x+3)=+2,(2x+3)=-2\,$ و از آنجا به دست می‌آوریم: $x=-0.5,x=-2.5\,$

روش کلی حل معادله درجه ۲

حل معادله درجه دو به روش مربع کامل ساختن در حالت کلی و بدست آوردن فرمول دلتا از روی آن .

اگر یک معادله درجه دو به صورت زیر باشد:

$ax^{2}+bx+c=0\,$

راه حل عمومی آن به این شکل است:

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

که نماد "±" به معنی هر دو است

$x={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

و

$x={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

اگر یک معادله درجه دو به صورت زیر باشد:

$ax^{2}+bx+c=0\,$ و b زوج باشد می‌توانیم بنویسیم :

$b'={\frac {b}{2}}$

$x={\frac {-b'\pm {\sqrt {(b')^{2}-ac}}}{a}}$

هر دو جواب‌هایی از معادله درجه ۲ هستند.

در صورتی که $b^{2}-4ac$ کوچکتر از صفر باشد معادله جواب حقیقی ندارد و در صورتی که برابر صفر باشد دو حل به یک حل تبدیل شده و گفته می‌شود معادله یک ریشه مضاعف دارد.

اعداد ثابت $p={\frac {-b}{a}}$ و $q={\frac {c}{a}}$ به ترتیب بیانگر جمع و ضرب دو ریشه هستند.

چند نکته مهم در مورد حل معادله درجه دو

1. اگر در یک معادله ضریب عدد ثابت صفر باشد، بهترین روش برای حل معادله، روش تجزیه به روش فاکتورگیری است. در این حالت به‌طور حتم یکی از ریشه‌ها صفر و دیگری ${\frac {-b}{a}}$خواهد بود.
2. اگر b برابر با صفر باشد، بهترین روش ریشه‌گیری است.
3. اگر در یک معادلهٔ درجه دوم به صورت استاندارد$ax^{2}+bx+c=0\,$ داشته باشیم: $a+b+c=0$(یعنی مجموع ضرایب برابر صفر باشد)، همواره یکی از جواب‌ها برابر عدد ۱ و دیگری برابر ${\frac {c}{a}}$است.
4. اگر در یک معادلهٔ درجه دوم به صورت استاندارد $ax^{2}+bx+c=0\,$ داشته باشیم: $a-b+c=0$آنگاه همواره یکی از جواب‌ها برابر عدد ۱- و دیگری برابر ${\frac {-c}{a}}$است.

مجموع و حاصل ضرب ریشه‌های یک معادلهٔ درجه دو

مجموع و حاصل ضرب ریشه‌های یک معادله درجه دو در حل مسائل از اهمیت خاصی برخوردار است. معمولاً در ریاضیات مجموع ریشه‌ها را با s و ضرب ریشه‌ها را با p نمایش می‌دهند. مجموع و حاصل ضرب ریشه‌های معادله درجه دو به صورت زیر به دست می‌آید:

$s=x_{1}+x_{2}=-b/a$

$p=x_{1}\times x_{2}=c/a$

منابع

• ویکی‌پدیای انگلیسی
• https://mathgifs.ir/2018/06/04/معادله-درجه-دو/

ریاضیات ۱ «سال اوّل دبیرستان» ، مؤلفان، اداره کل چاپ و توزیع کتاب‌های درسی ، لینک کتاب

پیوند به بیرون

• Weisstein, Eric W. "Quadratic equations". MathWorld.
• http://plus.maths.org/issue29/features/quadratic/index-gifd.html
• http://plus.maths.org/issue30/features/quadratic/index-gifd.html