Konformikuvaus

Suorakulmainen ruudukko (ylempänä) ja sen kuva konformikuvauksessa f (alempana). Kuvasta näkyy, että f kuvaa toisensa kohti­suorasti leikkaavat suorat käyrille, jotka nekin leikkaavat toisensa kohti­suorasti.

Konformikuvaus on matemaattinen kuvaus, jossa kulmat säilyvät ennallaan. Yleisimmin matematiikassa käsitellään konformi­kuvauksia, joiden lähtö- ja maalijoukko ovat kompleksitason alueita.

Määritelmä ja perusominaisuuksia

Jatkuvaa kuvausta $f$ sanotaan konformiseksi eli konformi­kuvaukseksi annetussa pisteessä $z_{0}$, jos ja vain jos se toteuttaa seuraavat ehdot:

1. Kun $z\rightarrow z_{0}$ jotakin pisteeseen $z_{0}$ johtavaa sädettä pitkin, suhteella ${\frac {|f(z)-f(z_{0})|}{|z-z_{0}|}}$ on äärellinen nollasta poikkeava raja-arvo, joka on riippumaton valitun säteen suunnasta.
2. Jokaisella pisteestä $z_{0}$ lähtevän säteen kuvalla on tangentti pisteessä $f(z_{0})$, ja näiden tangenttien välinen kulma on aina yhtä suuri kuin säteiden välinen kulma pisteessä $z_{0}$.

Kuvausta $f$ sanotaan konformi­kuvaukseksi alueessa $U$, jos se on konforminen alueen jokaisessa pisteessä. Jos alue $U$ voidaan kuvata konformisesti ja bijektiivisesti alueelle $V$, sanotaan, että alueet $U$ ja $V$ ovat konformiekvivalentit.

Usein konformikuvaukselta edellytetään lisäksi, että se säilyttää myös orientaation. Tällaista kuvausta sanotaan toisinaan myös suoraan konformi­seksi. Taso­alueiden tapauksessa tämä merkitsee, etteivät kulmat pysy ainoastaan itseis­arvoltaan yhtä suurina, vaan myöskään kulman oikea ja vasen kylki eivät vaihdu keskenään. Kuvaus, joka on konforminen, mutta kääntää orientaation, on kääntäen konforminen.

Konformikuvauksissa infinitesimaalisen pienet alueet pysyvät muodoltaan, mutta eivät välttämättä kooltaan ennallaan. Sitä vastoin tarpeeksi suuret alueet saattavat muuttua muodoltaan paljonkin.

Yleisimmin matematiikassa käsitellään konformi­kuvauksia, joiden lähtö- ja maalijoukko ovat kompleksitason alueita.

Kuvauksen konformisuus voidaan karakterisoida koordinaatiston muunnokseen liittyvän Jacobin matriisin avulla. Jos muunnoksen Jacobin determinantti on kaikkialla jokin rotaatiomatriisi kerrottuna jollakin skalaarilla, muunnos on konforminen.

Konformi­kuvauksen käsite voidaan yleistää, paitsi taso­alueiden, myös korkeampi­ulotteisten euklidisten avaruuksien ja yleisemminkin Riemannin monistojen ja Riemannin semimonistojen alueiden välisiin kuvauksiin.

Kompleksianalyysi

Erityisen suuri merkitys konformikuvauksilla on kompleksianalyysissä. Jos $u$ on kompleksitason $\mathbb {C}$ avoin osajoukko, funktio : $f:U\rightarrow \mathbb {C}$ on suoraan konforminen, jos ja vain jos se on holo­morfinen eli analyyttinen ja sen derivaatta on nollasta poikkeava kaikissa alueen U pisteissä. Jos f on antiholomorfinen eli jonkin holomorfisen funktion kompleksikonjugaatti, se säilyttää kulmat mutta kääntää niiden orientaation.

Riemannin kuvauslause on yksi kompleksianalyysin syvällisistä tuloksista. Se osoittaa, että jokainen ei-tyhjä yhdesti yhtenäinen kompleksi­tason $\scriptstyle \mathbb {C}$ avoin osajoukko voidaan kuvata bijektiivisellä konformi­kuvauksella $\mathbb {C}$:n avoimelle yksikkö­kiekolle.

Laajennettu kompleksitaso on konformisti ekvivalentti pallopinnan kanssa. Laajennetun tason bijektiivinen konformi­kuvaus itselleen on suora konformikuvaus, jos ja vain jos se on Möbius-kuvaus. Laajennetussa tasossakin myös Möbius-kuvausten kompleksi­konjugaatit säilyttävät kulmien suuruuden ennallaan, mutta kääntävät niiden orientaation.

Esimerkkinä laajennetun tason kuvauksesta, joka on kääntäen konforminen, voidaan mainita kompleksi­konjugaatin käänteis­arvo eli funktio

$f(z)={\frac {1}{\bar {z}}}$.

Se vastaa Riemannin pallon peilausta yksikkö­kiekon määräämän tason kanssa tai kompleksitason peilaamista yksikköympyrän kehän yli. Tämä funktio säilyttää jokaisen kompleksiluvun r e^iθ argumentin θ ennallaan mutta muuttaa sen itseisarvon r käänteisluvukseen.

Riemannin geometria

Riemannin geometriassa kahta sileän moniston $M$ Riemannin metriikkaa $g$ ja $h$ sanotaan konformiekvi­valenteiksi, jos $g=uh$ jollakin positiivisella funktiolla $u$, joka on määritelty monistossa $M$. Funktiota $u$ sanotaan konformiseksi tekijäksi.

Kahden Riemanin moniston välistä diffeomorfismia sanotaan konformi­kuvaukseksi, jos metriikka, jonka sen käänteiskuvaus indusoi lähtö­avaruuteen, on konformisti ekvivalentti alku­peräisen kanssa. Esimerkiksi pallopinnan stereografinen projektio laajennetulle tasolle, johon on lisätty äärettömyys­piste, on konformi­kuvaus.

Sileällä monistolla voidaan myös määrätä konforminen rakenne konformisti ekvi­valenttien Riemannin metriikkojen luokkana.

Korkeampiulotteiset euklidiset avaruudet

Joseph Liouvillen todistama Liouvillen lause osoittaa, että korkeampiulotteisten avaruuksien ja niiden alueiden välillä on vähemmän erityyppisiä konformikuvauksia.

Jokainen kolmi- tai useampien euklidisen avaruuden alueen konformi­kuvaus voidaan muodostaa yhdistettynä kuvauksena kolmesta kuvauksesta, joista yksi on homotetia, toinen isometria eli yhtenevyys­kuvaus ja kolmas niin sanottu erityinen konforminen muunnos (engl. special conformal transformation) eli peilauksen ja pallopinnan suhteen suoritetun inversion yhdistetty kuvaus. Täten useampi­ulotteisten avaruuksien konformi­kuvaukset muodostavat paljon suppeamman ryhmän kuin tasossa, jossa Riemannin kuvauslause tarjoaa mahdollisen muodostaa laajan ryhmän konformi­kuvauksia.

Sovelluksia

Fysiikassa ja tekniikassa

Jos funktio $f$on harmoninen eli toteuttaa Laplacen yhtälön $\nabla ^{2}f=0$ jossakin tasoalueessa, ja jos alue se kuvataan konformi­kuvauksella $g$ jollekin toiselle tasoalueelle, yhdistetty funktio $f\circ g^{-1}$ on myös harmoninen. Tämän vuoksi jokainen funktio, joka on määritelty jonkin potentiaalin avulla, voidaan muuntaa konformi­kuvauksella, minkä jälkeen sillä edelleen on potentiaali. Fysiikassa potentiaalin avulla on muodostettu esimerkiksi sähkömagneettisen kentän ja gravitaatiokentän yhtälöt sekä virtaus­dynamiikassa potentiaalivirta, nesteen tai kaasun virtauksen likimääräinen kuvailu olettamalla, että tiheys on vakio, viskositeetti nolla ja virtaus pyörteetöntä. Esimerkkinä konformi­kuvauksen sovelluksesta virtaus­dynamiikassa voidaan mainita aerodynamiikassa usein käytettävä Žukovskin muunnos eli Joukowskyn muunnos $z\mapsto z+{1 \over z}$.

Konformikuvauksilla on suuri merkitys ratkaistaessa sellaisia fysiikan ja insinööri­tieteiden probleemoja, jotka voidaan esittää kompleksimuuttujien funktioina mutta joilla on epä­mukavia geo­metrisia ominaisuuksia. Valitsemalla sopiva muunnos voidaan epä­mukava geometria muuntaa helpommin käsiteltäväksi. Esimerkiksi voi olla tarpeen laskea piste­varauksen aiheuttaman sähkökentän voimakkuus, $E(z)$, kun varaus sijaitsee lähellä paikkaa, jossa kaksi johtavaa tasoa kohtaavat toisensa ja nämä ovat tietyssä kulmassa keskenään. Tehtävä on sellaisenaan sangen vaikea ratkaista suljetussa muodossa. Yksinkertaisella konformi­kuvauksella epä­mukava kulma voidaan kuitenkin kuvata toiselle, joka on tasan $\pi$ radiaania (180 astetta), jolloin tuloksena on vain yksi taso. Tilanteessa, jossa varaus on lähellä yhtä johtavaa tasoa, sähkö­kentän voimakkuus on helppo laskea. Kun ratkaisu on saatu tällä tilanteessa, $E(w)$, joka sitten kuvataan takaisin alkuperäisen tehtävän mukaiseen tilanteeseen ottamalla huomioon, että $w$ saatiin $z$:n funktiona, $E$:stä ja $w$:stä yhdistettynä kuvauksena $E(w(z))$. Tämä sovellus ei ole ristiriidassa sen kanssa, että konformi­kuvauksissa kulmien suuruus säilyy, sillä näin on laita vain kuvattavan alueen sisällä, ei sen reunalla.

Ebenezer Cunningham tunnisti vuonna 1980 ja Harry Bateman vuonna 1910 laajan ryhmän konformi­kuvauksia Maxwellin yhtälöiden eri ratkaisujen välille, palloaaltojen muunnokset. Opiskellessaan Cambridgen yliopistossa he olivat tutustuneet peili­varaus­metodeihin ja niihin liittyviin, pallopintoja ja inversioita käyttäviin menetelmiin. Andrew Warwick totesi vuonna 2003 teoksessaan Masters of Theory:

»Jokainen neliulotteinen ratkaisu voitaisiin invertoida neli­ulotteisen hyperpallon suhteen, jonka pseudo­säde on $K$, ja jolloin myös saadaan uusi ratkaisu.»

Warwick korostaa tätä "uutta suhteellisuus­teoreemaa" Cambridgen vastauksena Einsteinille ja se perustuu inversioiden käyttöön, jota käsitellään esimerkiksi James Hopwood Jeansin laatimassa oppi­kirjassa Mathematical Theory of Electricity and Magnetism.

Yleisessä suhteellisuus­teoriassa konformi­kuvaukset ovat yksin­kertaisin ja sen vuoksi yleisin kausaalisten muunnosten tyyppi. Fysikaalisesti ne esittävät erilaisia maailman­kaikkeuksia, joissa samat tapahtumat ja vuoro­vaikutukset ovat yhä (kausaalisesti) mahdollisia, mutta joissa on oletettava jokin lisä­voima saamaan aikaan nämä tapahtumat. Toisin sanoen liike­radat voivat pysyvät samoina vain, jos liike ei ole geodeettista, koska metriikka on erilainen. On usein yritetty laatia malleja, joita voitaisiin laajentaa singulari­teetinkin ohi ja joilla voitaisiin kuvailla maailman­kaikkeutta jopa ennen alkuräjähdystä.

Karttaprojektiot

Muutamat yleisesti käytetyt olevat karttaprojektiot ovat oikea­kulmaisia, eli niissä kahden suunnan välinen suunta kartalla on kaikkialla yhtä suuri kuin maastossakin. Tällaiset projektiot ovat konformi­kuvauksia pallo­pinnalta jollekin taso­alueelle. Aiemmin mainitun, myös kartta­projektiona käytetyn stereo­grafisen projektion ohella oikea­kulmaisia ovat erityisesti Mercatorin projektio ja sen muunnelma, Gaussin–Krügerin projektio ja Lambertin projektio.

Vaihtoehtoiset kulmat

Nimitys konformikuvaus johtuu siitä, että sellaisessa kohteiden muodot säilyvät ainakin infinitesimaalisissa mitta­suhteissa. Sana on muodostettu latinan prefiksistä com (yhdessä, kanssa, lähellä) ja substantiivista forma (muoto, ulkonäkö). Käsite sisältää yleensä oletuksen, että säilyvä muoto mitataan tavan­omaisella euklidisella kulmalla, jonka yksikkönä voidaan käyttää esimerkiksi asteina tai radiaaneina. Taso­kuvauksiin liittyy kuitenkin kaksi muutakin kulma­suuretta, hyperbolinen kulma ja kulmakerroin, joka on analoginen duaalilukujen välisten kulmien kanssa.

Olkoon $\scriptstyle f:U\rightarrow \mathbb {V}$ pintojen välinen kuvaus, joka voidaan para­metrisoida luku­pareilla $\scriptstyle (x,y)\,$ ja $\scriptstyle (u,v)\,$. Tällöin $\scriptstyle f$:n Jacobin matriisin muodostavat $\scriptstyle u$:n ja $\scriptstyle v$:n neljä osittaisderivaattaa $\scriptstyle x$:n ja $\scriptstyle y$:n suhteen.

Jos Jacobin matriisin g determinantti ei ole nolla, kuvaus $f$ on "konforminen yleistetyssä mielessä" näistä kulma­suureista yhden suhteen riippuen Jacobin matriisin g ilmaisemasta reaali­matriisista.

Itse asiassa jokainen tällainen matriisi g kuuluu erityiseen tasomaiseen kommutatiiviseen ali­renkaaseen, ja g:n napa­koordinaatit määräytyvät kahden parametrin mukaan, joista toinen kuvaa etäisyyttä, toinen kulmaa tai suuntaa. Edellinen, säteittäinen parametri vastaa jotakin yhdenmuotoisuuskuvausta, ja sille voidaan kuvausten konformisuutta tutkittaessa valita arvo 1. Jälkimmäinen, g:n kulma­parametri, voi olla kolmea tyyppiä, transvektiivinen, hyperbolinen tai euklidinen:

• Jos alirengas on isomorfinen duaalilukujen tasojen kanssa, g on trans­vektiivinen kuvaus (engl. shear mapping, transvection), jossa duaalikulmat säilyvät.
• Jos alirengas on isomorfinen hyperbolisten lukujen tason kanssa, g on hyperbolinen kuvaus (engl. squeeze mapping, hyperbolic mapping), jossa hyperboliset kulmat säilyvät.
• Jos alirengas on isomorfinen tavallisen kompleksitason kanssa, g on rotaatio, jossa euklidinen kulma säilyy.

Käsitellessään analyyttisä bireaalisten muuttujien funktioita U. Bencivenga ja G. Fox ovat kirjoittaneet konformikuvauksista, joissa hyper­boliset kulmat säilyvät. Myös duaalilukujen ja hyper­bolisten lukujen tasoissa voidaan määritellä Möbius-kuvauksia vastaavat muunnokset, jotka ovat näiden tasojen konformi­kuvauksia edellä mainitussa yleistetyssä mielessä.

Lähteet

• Lars V. Ahlfors: Conformal invariants: topics in geometric function theory. New York: McGraw–Hill Book Co., 1973.
• Hubert Chanson: Applied Hydrodynamics: An Introduction to Ideal and Real Fluid Flows. Leiden: CRC Press, Taylor & Francis Group, 2009. ISBN 978-0-415-49271-3 Teoksen verkkoversio.
• Michiel Hazewinkel: ”Conformal Mapping”, Encyclopedia of Mathematics. Springer, 2001. ISBN 978-1-55608-010-4
• Walter Rudin: Real and complex analysis, 3. painos. New York: McGraw–Hill Book Co., 1987. ISBN 978-0-07-054234-1
• Ruel V. Churchill: Complex Variables and Applications. New York: McGraw–Hill Book Co., 1974. ISBN 0-07-010855-2
• Conformal Mapping MathWorld. Viitattu 19.11.2014.
• Spiegel, Murray R.; Lipschutz, Seymour; Schiller, John J.; Spellman, Dennis: Complex Variables. (Shaum's Outline Series) McGraw-Hill Book Company, 2009 (1964).

Kirjallisuutta

• Olli Lehto: Funktioteoria I–II. Limes ry, 1985 (1980). ISBN 951745-077-X
• Väisälä, Kalle: Matematiikka IV. (141, 10. painos) Espoo: Otakustantamo, 1986 (1965). ISBN 951-671-087-5

Aiheesta muualla

• Monien konformikuvausten interaktiivisia visualisointeja (Arkistoitu – Internet Archive)
• Wolfram Demonstrations Project: Conformal Maps (Michael Trott)
• Jürgen Richter-Gebertin Cinderella-ohjelmistolla laatima Java-applet^{[vanhentunut linkki]}
• Christian Mercatin laatima Java-applet kuvien muuntamiseksi^{[vanhentunut linkki]}
• Conformal Mapping images of current flow Virtauksista konformikuvauksilla saatuja kuvia] eri geometrioissa magneettikenttien läsnä ollessa ja ilman niitä, laatinut Gerhard Brunthaler
• Conformal Transformation: from Circle to Square.