Anticommutativité
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En mathématiques, l'anticommutativité est la propriété caractérisant les opérations pour lesquelles intervertir deux arguments transforme le résultat en son opposé. Par exemple, une opération binaire ✻ est anticommutative si
Cette propriété intervient en algèbre, en géométrie, en analyse et, par conséquent, en physique.
Définition
[modifier | modifier le code]Étant donné un entier naturel n, une opération n-aire est dite anticommutative si intervertir deux arguments transforme le résultat en son opposé.
Plus formellement, une application de l'ensemble de tous les n-uplets d'éléments d'un ensemble A dans un groupe G est dite anticommutative si pour toute permutation σ de l'ensemble {1, 2, … ,n}, on a :
- ,
où sgn(σ) désigne la signature de σ.
Cette formule est à interpréter comme suit :
- si deux n-uplets se déduisent l'un de l'autre par une permutation impaire alors leurs images sont symétriques l'une de l'autre dans le groupe G ;
- si deux n-uplets se déduisent l'un de l'autre par une permutation paire alors ils ont même image.
La formule comporte donc un abus de notation puisqu'a priori, l'ensemble d'arrivée G est seulement un groupe, dans lequel « –1 » et la multiplication n'ont pas de sens précis. Dans le groupe G, noté ici additivement, (–1) g représente le symétrique (ou opposé) –g d'un élément g.
Le cas n = 2 est particulièrement important. Une opération binaire est anticommutative si
- ,
ce qui signifie que x1✻x2 est l'élément symétrique de x2✻x1 dans le groupe G.
Exemples
[modifier | modifier le code]- Sont anticommutatifs :
- la soustraction ;
- le produit vectoriel ;
- le crochet de Lie.
- Une application multilinéaire anticommutative est dite antisymétrique.
Propriété
[modifier | modifier le code]Si le groupe G est tel que
- ,
c'est-à-dire si l'élément neutre est le seul élément qui soit égal à son symétrique alors :
- pour toute opération binaire ✻ anticommutative et tout élément x1 on a :
- ;
- plus généralement, pour toute opération n-aire ✻ anticommutative, l'image de tout n-uplet comportant une répétition (c.-à-d. tel que pour au moins deux indices i et j distincts) est égale à l'élément neutre :
- .
![{\displaystyle [\exists i\neq j\quad x_{i}=x_{j}]\Rightarrow x_{1}*x_{2}*\dots *x_{n}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43bce260788ff4cea0f26029df49516ff1000eb2)
Cette propriété est plus connue dans le cas particulier d'une application n-linéaire antisymétrique (E et F étant des espaces vectoriels sur un même corps K) : si la caractéristique de K est différente de 2 alors le seul vecteur de F égal à son opposé est le vecteur nul, si bien que f est alternée.
Voir aussi
[modifier | modifier le code]Articles connexes
[modifier | modifier le code]- Loi commutative
- Commutateur (théorie des groupes)
- Algèbre extérieure
- Physique statistique
- Matrice antisymétrique
Bibliographie
[modifier | modifier le code]N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre, chap. 1-3, Berlin, Springer Verlag, , 2e éd., 636 p. (ISBN 978-3-540-33849-9, BNF 40227395), voir chap. 3 : « Algèbres tensorielles, algèbres extérieures, algèbres symétriques ».
Lien externe
[modifier | modifier le code](en) A. T. Gainov, « Anti-commutative algebra », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, (ISBN 978-1556080104, lire en ligne)
