Conjecture d'Elliott-Halberstam
En théorie des nombres, la conjecture d'Elliott-Halberstam concerne la distribution des nombres premiers dans les progressions arithmétiques. Elle a beaucoup d'applications en théorie des cribles. Elle a été énoncée par Peter D. T. A. Elliott et Heini Halberstam en 1968.
Notations
[modifier | modifier le code]Énoncer la conjecture nécessite quelques notations. On désigne usuellement par π(x) le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à x. Si q est un entier strictement positif et a est premier avec q, notons π(x; q, a) le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à x qui sont congrus à a modulo q. D'après le théorème de la progression arithmétique, lorsque a est premier avec q, on a :
On définit alors la fonction d'erreur
où le max est pris sur tous les a premiers avec q.
Énoncé
[modifier | modifier le code]La conjecture d'Elliott-Halberstam est l'assertion que pour tout 0 < θ < 1 et tout A > 0, il existe une constante C , telle que pour tout x ≥ 2 :
La conjecture d'Elliott Haltberstam pour une valeur de θ est notée EH [ θ ][1].
Avancées
[modifier | modifier le code]Pour le cas limite θ = 1, on sait que cette assertion EH [ 1 ] est fausse.
Pour les θ < 1⁄2, la conjecture EH [ θ ] a été démontrée dans les années 1960 par Enrico Bombieri[2] et Askold Ivanovitch Vinogradov : c'est le théorème de Bombieri-Vinogradov ; ce résultat est déjà tout à fait utile, étant une forme moyennée de l'hypothèse de Riemann généralisée.
Conséquences de la conjecture
[modifier | modifier le code]La conjecture d'Elliott-Halberstam aurait, si elle était démontrée pour θ < 1, plusieurs conséquences frappantes. L'une d'elles est le résultat de Daniel Goldston, János Pintz et Cem Yıldırım[3],[4],[5], qui montre qu'il existerait alors une infinité de paires de nombres premiers qui diffèrent d'au plus 16. Maynard a montré en que sous la même hypothèse, il existerait alors une infinité de paires de nombres premiers qui diffèrent d'au plus 12. En 2014, le projet Polymath a montré qu'en supposant une version généralisée de EH [ θ ], pour 0 < θ < 1, l'écart pourrait être ramené à 6.
Notes et références
[modifier | modifier le code]Notes
[modifier | modifier le code]- Variants of the Selberg sieve, and bounded intervals containing many primes, Abstract.
- (en) Enrico Bombieri, « On the large sieve », Mathematika, vol. 12, , p. 201–225 (DOI 10.1112/s0025579300005313, MR 0197425)
- (en) D. A. Goldston, J. Pintz et C. Y. Yıldırım, Primes in Tuples I, août 2005. « math.NT/0508185 », texte en accès libre, sur arXiv.
- (en) D. A. Goldston, Y. Motohashi, J. Pintz et C. Y. Yıldırım, Small gaps between primes exist, Proceedings of the Japan Academy Series A 82 (2006), 61-65. Version de mai 2005 disponible sur arXiv:math.NT/0505300 (en)
- (en) D. A. Goldston, S. W. Graham, J. Pintz et C. Y. Yıldırım, Small gaps between primes or almost primes, juin 2005. « math.NT/0506067 », texte en accès libre, sur arXiv.
Références
[modifier | modifier le code]- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Elliott–Halberstam conjecture » (voir la liste des auteurs).
- (en) E. Bombieri, « On the large sieve », Mathematika, vol. 12, , p. 201-225
- (en) P. D. T. A. Elliot et H. Halberstam, « A conjecture in prime number theory », Symp. Math., vol. 4 (INDAM, Rome, 1968/69), , p. 59-72
- (en + ru) A. I. Vinogradov, « The density hypothesis for Dirichlet L-series », Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat., vol. 29, 1965, p. 903-934